Limite forma ind
Salve a tutti, ho dubbi sui seguenti limiti:
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \)
Abbiamo una forma indeterminata \(\displaystyle \frac{\infty }{\infty } \).
Non so bene come sciogliere questa forma indeterminata.
Consigli?
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x} \)
Abbiamo una forma indeterminata \(\displaystyle \frac{\infty }{\infty } \).
Non so bene come sciogliere questa forma indeterminata.
Consigli?
Risposte
1)$=lim_(x->+infty)(x+sqrt(x^2(1/x^2+1)))/(x (1/x+1)) $ $=lim_(x->+infty)(x+x)/x=2$.
2)$lim_(x->-infty)(x+sqrt (1+x^2))/(1+x)$ =$lim_(x->+infty)(-x+sqrt (1+x^2))/(1-x)= $ ....
2)$lim_(x->-infty)(x+sqrt (1+x^2))/(1+x)$ =$lim_(x->+infty)(-x+sqrt (1+x^2))/(1-x)= $ ....
Il limite è molto semplice.. ti consiglierei ti studiare prima l'argomento e i metodi risolutivi
comunque:
$\lim_{x \to +infty}(x+sqrt(1+x^2))/(1+x)$
1. portiamo fuori dalla radice la x. (ricordandoci di mettere il valore assoluto)
$\lim_{x \to +infty}(x+|x|)/(1+x)$
2.possiamo togliere il valore assoluto. (dato che siamo in un intorno positivo anche la x sarà positiva)
$\lim_{x \to +infty}(2x)/(1+x)$
3.raccogliamo la x al denominatore e abbiamo:
$\lim_{x \to +infty}(2x)/(x)$
4. semplificando la x
$\lim_{x \to +infty}(2)$
$l=2$
Lascio a te ora lo svolgimento per - infinito
comunque:
$\lim_{x \to +infty}(x+sqrt(1+x^2))/(1+x)$
1. portiamo fuori dalla radice la x. (ricordandoci di mettere il valore assoluto)
$\lim_{x \to +infty}(x+|x|)/(1+x)$
2.possiamo togliere il valore assoluto. (dato che siamo in un intorno positivo anche la x sarà positiva)
$\lim_{x \to +infty}(2x)/(1+x)$
3.raccogliamo la x al denominatore e abbiamo:
$\lim_{x \to +infty}(2x)/(x)$
4. semplificando la x
$\lim_{x \to +infty}(2)$
$l=2$
Lascio a te ora lo svolgimento per - infinito
$ \lim_{x \to +infty}(x+sqrt(1+x^2))/(1+x) $
$ \lim_{x \to +infty}(x+|x|)/(1+x) $
$ \lim_{x \to +infty}(x-x)/(1+x) = 0/\infty = 0$
Giusto?
$ \lim_{x \to +infty}(x+|x|)/(1+x) $
$ \lim_{x \to +infty}(x-x)/(1+x) = 0/\infty = 0$
Giusto?
No, angelo, come ti ho già detto ti consiglio di studiare bene i limiti prima di passare agli esercizi.
$x-x$ non fa 0, viene definita cancellazione. in quel caso il limite va risolto in un'altro metodo. (differenza di quadrati).
$x-x$ non fa 0, viene definita cancellazione. in quel caso il limite va risolto in un'altro metodo. (differenza di quadrati).
"Anacleto13":
... $0/infty$ è una forma indeterminata.
No, non lo è ...
Pardon ..errore mio, correggo
"angelok90":
Giusto?
Giusto.
@Anacleto13: Giusto o sbagliato?
non fa 0, viene definita cancellazione. in quel caso il limite va risolto in un'altro metodo. (differenza di quadrati).
Come?
@axpgn: potrei chiedere come l'avresti risolta tu, i passaggi dico.
non fa 0, viene definita cancellazione. in quel caso il limite va risolto in un'altro metodo. (differenza di quadrati).
Come?
@axpgn: potrei chiedere come l'avresti risolta tu, i passaggi dico.
Così come hai fatto ...
Ciao a tutti,
@francicko: ci sei ricascato... Quando si passa al limite si passa al limite, non si può passare al limite solo per ciò che conviene.
@Anacleto13: vedi lo stesso discorso fatto @francicko
Il caso $x \to +\infty$:
$lim_(x \to +\infty)frac{x+sqrt(x^2(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to+infty)frac{x+|x|sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)}$
Ora, dato che $x \to + \infty$, il modulo lo possiamo togliere e si ha:
$lim_(x \to +\infty)frac{x+sqrt(x^2(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to +\infty)frac{x+|x|sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} = lim_(x \to +\infty)frac{x+x sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} = $
$ = lim_(x \to +\infty)frac{x(1 + sqrt(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to +\infty)frac{1 + sqrt(1/x^2+1)}{1/x+1} = frac{2}{1} = 2$
Il caso $x \to -\infty$:
$ lim_(x \to -\infty)frac{x+sqrt (1+x^2)}{1+x} = lim_(x \to -\infty)frac{sqrt (1+x^2) + x}{1+x}$
Qui invece conviene razionalizzare al contrario, moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt{1+x^2} - x$, in modo tale che si ha:
$lim_(x \to -\infty)frac{sqrt (1+x^2) + x}{1+x} = lim_(x \to -\infty)frac{(sqrt (1+x^2) + x)(sqrt (1+x^2) - x)}{(1+x)(sqrt (1+x^2) - x)} =$
$ = lim_(x \to -\infty)frac{1}{(1+x)(sqrt (1+x^2) - x)} = 0$
@francicko: ci sei ricascato...
Quando si passa al limite si passa al limite, non si può passare al limite solo per ciò che conviene.@Anacleto13: vedi lo stesso discorso fatto @francicko
Il caso $x \to +\infty$:
$lim_(x \to +\infty)frac{x+sqrt(x^2(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to+infty)frac{x+|x|sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)}$
Ora, dato che $x \to + \infty$, il modulo lo possiamo togliere e si ha:
$lim_(x \to +\infty)frac{x+sqrt(x^2(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to +\infty)frac{x+|x|sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} = lim_(x \to +\infty)frac{x+x sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} = $
$ = lim_(x \to +\infty)frac{x(1 + sqrt(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to +\infty)frac{1 + sqrt(1/x^2+1)}{1/x+1} = frac{2}{1} = 2$
Il caso $x \to -\infty$:
$ lim_(x \to -\infty)frac{x+sqrt (1+x^2)}{1+x} = lim_(x \to -\infty)frac{sqrt (1+x^2) + x}{1+x}$
Qui invece conviene razionalizzare al contrario, moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt{1+x^2} - x$, in modo tale che si ha:
$lim_(x \to -\infty)frac{sqrt (1+x^2) + x}{1+x} = lim_(x \to -\infty)frac{(sqrt (1+x^2) + x)(sqrt (1+x^2) - x)}{(1+x)(sqrt (1+x^2) - x)} =$
$ = lim_(x \to -\infty)frac{1}{(1+x)(sqrt (1+x^2) - x)} = 0$
Non capisco perché non usi lo stesso metodo anche per $-infty$ ... che poi è lo stesso di angelo (anche se quello è più "grezzo")
Peraltro nell'ultimo passaggio hai una forma indeterminata $0*infty$ al denominatore che devi risolvere prima di arrivare alla soluzione ...
Peraltro nell'ultimo passaggio hai una forma indeterminata $0*infty$ al denominatore che devi risolvere prima di arrivare alla soluzione ...
Ciao pilloeffe, chiaro come sempre.
Un dubbio qui:
$ lim_(x \to -\infty)frac{1}{(1+x)(sqrt (1+x^2) - x)} = 0$
Come risolvi questa parte?
$ (1+x)(sqrt (1+x^2) - x) $
Un dubbio qui:
$ lim_(x \to -\infty)frac{1}{(1+x)(sqrt (1+x^2) - x)} = 0$
Come risolvi questa parte?
$ (1+x)(sqrt (1+x^2) - x) $
Ciao angelok90 e axpgn,
Secondo me avete l'incubo delle forme indeterminate: ne vedete anche dove non ce ne sono...
Il denominatore $(1+x)(sqrt{1+x^2} - x)$ per $x \to -\infty$ tende a $ -\infty(infty + infty) = -\infty$, per cui non c'è alcunché da risolvere...
Secondo me avete l'incubo delle forme indeterminate: ne vedete anche dove non ce ne sono...
Il denominatore $(1+x)(sqrt{1+x^2} - x)$ per $x \to -\infty$ tende a $ -\infty(infty + infty) = -\infty$, per cui non c'è alcunché da risolvere...
Sì lo so che non è indeterminata ma non capisco perché hai cambiato metodo quando il primo andava bene per tutti e due i casi senza lasciare "eventuali" situazioni dubbie a chi non ha un occhio così addestrato ...
Ciao axpgn,
è in contraddizione con ciò che hai scritto nel post precedente:
che è probabilmente il motivo che ha indotto un ulteriore dubbio in angelok90.
Per quanto riguarda il metodo, l'ho cambiato solo perché mi sembrava più breve: in effetti il caso $x \to -\infty$ si poteva anche risolvere con lo stesso metodo usato nel caso $x \to +\infty$, sostituendo $- x$ al posto di $|x|$ e ripetendo gli stessi passaggi. Si sarebbe pervenuti al medesimo risultato:
$lim_(x \to -\infty)frac{x+sqrt(x^2(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to -\infty)frac{x+|x|sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} = lim_(x \to -\infty)frac{x-x sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} =$
$= lim_(x \to -\infty)frac{x(1 - sqrt(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to -\infty)frac{1 - sqrt(1/x^2+1)}{1/x+1} = frac{0}{1} = 0$
"axpgn":
Sì lo so che non è indeterminata
è in contraddizione con ciò che hai scritto nel post precedente:
"axpgn":
Peraltro nell'ultimo passaggio hai una forma indeterminata $0 \cdot infty$ al denominatore che devi risolvere prima di arrivare alla soluzione ...
che è probabilmente il motivo che ha indotto un ulteriore dubbio in angelok90.
Per quanto riguarda il metodo, l'ho cambiato solo perché mi sembrava più breve: in effetti il caso $x \to -\infty$ si poteva anche risolvere con lo stesso metodo usato nel caso $x \to +\infty$, sostituendo $- x$ al posto di $|x|$ e ripetendo gli stessi passaggi. Si sarebbe pervenuti al medesimo risultato:
$lim_(x \to -\infty)frac{x+sqrt(x^2(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to -\infty)frac{x+|x|sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} = lim_(x \to -\infty)frac{x-x sqrt(1/x^2+1)}{x (1/x+1)} =$
$= lim_(x \to -\infty)frac{x(1 - sqrt(1/x^2+1))}{x (1/x+1)} = lim_(x \to -\infty)frac{1 - sqrt(1/x^2+1)}{1/x+1} = frac{0}{1} = 0$
@angelok90
Intendevo dire che secondo me il procedimento corretto da eseguire è sempre quello di razionalizzare.(In quel caso il risultato coincide, ma non è sempre così).
puoi rendertene conto quando provi a risolvere limiti di questo tipo.
$\lim_{x \to \-infty}sqrt(x^2+3x+1)+x$
Seguendo il procedimento normale potresti dire che il limite fa 0, ma risolvendolo con la razionalizzazione il risultato è -3
/2
Intendevo dire che secondo me il procedimento corretto da eseguire è sempre quello di razionalizzare.(In quel caso il risultato coincide, ma non è sempre così).
puoi rendertene conto quando provi a risolvere limiti di questo tipo.
$\lim_{x \to \-infty}sqrt(x^2+3x+1)+x$
Seguendo il procedimento normale potresti dire che il limite fa 0, ma risolvendolo con la razionalizzazione il risultato è -3
/2
@Anacleto13:
Seguendo il procedimento normale potresti dire che il limite fa 0?
Cosa intendi con il procedimento normale?
Questo:
$ \lim_{x \to \-infty}sqrt(x^2+3x+1)+x = $
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}+x = \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} |x|\sqrt{(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}+x = \)
Togliamo il modulo, essendo \(\displaystyle x \to -\infty \) il modulo di x e -x.
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} -x\sqrt{(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}+x = \)
Qui hai una forma indeterminata: \(\displaystyle \infty-\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} -x(\sqrt{(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}-1) = \)
Qui hai un altra forma indeterminata: \(\displaystyle \infty*0 \)
Sbaglio?
Seguendo il procedimento normale potresti dire che il limite fa 0?
Cosa intendi con il procedimento normale?
Questo:
$ \lim_{x \to \-infty}sqrt(x^2+3x+1)+x = $
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}+x = \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} |x|\sqrt{(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}+x = \)
Togliamo il modulo, essendo \(\displaystyle x \to -\infty \) il modulo di x e -x.
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} -x\sqrt{(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}+x = \)
Qui hai una forma indeterminata: \(\displaystyle \infty-\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} -x(\sqrt{(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}-1) = \)
Qui hai un altra forma indeterminata: \(\displaystyle \infty*0 \)
Sbaglio?
@pilloeffe
Lo sai tu e lo so io che non è indeterminata ma angelo lo sa? Forse non era così ovvio per lui perciò l'ho evidenziato, hai fatto tutti i passaggi precedenti in dettaglio e poi hai "chiuso lì" ...
Idem per il cambio di metodo, a mio parere dà l'impressione che non si possa usare la stessa strada nei due casi mentre invece a quel punto è una prosecuzione logica ... sempre IMHO ...
Cordialmente, Alex
Lo sai tu e lo so io che non è indeterminata ma angelo lo sa? Forse non era così ovvio per lui perciò l'ho evidenziato, hai fatto tutti i passaggi precedenti in dettaglio e poi hai "chiuso lì" ...
Idem per il cambio di metodo, a mio parere dà l'impressione che non si possa usare la stessa strada nei due casi mentre invece a quel punto è una prosecuzione logica ... sempre IMHO ...
Cordialmente, Alex
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