Analisi matematica di base
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Salve, ho affrontato oggi questo esercizio:
- $\sum_{n=1}^(+oo)((1 - n^(1 / 2) + n) / n)^(n^(3 / 2))$
Ed ho ragionato così: "se tolgo il +1 al numeratore e riscrivo l'esponente ottengo un argomento che tende a 1/(e^n) ed una serie con questo argomento converge". il ragionamento è valido? va bene? devo fare qualche passaggio in più o sono totalmente fuori strada?
$((1 - n^(1 / 2) + n) / n)^(n^(3 / 2))$ -> $(-1/(n^(1/2)) + 1) ^(n*n^(1 / 2))$ -> $(1/e)^n$
Salve a tutti, facendo esercizi mi sono imbattuto in questo integrale che non riesco a risolvere:
$\int e^x[log(e^x-2)-log(e^(2x)+1)] dx$
La prima cosa a cui ho pensato è l'integrazione per parti avendo $e^x$ di facile integrazione ma non riesco comunque a risolvere l'integrale a secondo membro quindi sono a un punto morto..
Vorrei quindi sapere: è la strada giusta e mi sono solo bloccato o c'è un altro metodo? avete suggerimenti?
Grazie
Ho questo esercizio:
Determinare il limite puntuale della successione di funzioni $f_n(x)=(1+x/n)^n$ nell'intervallo $[0,1]$e verificare se la convergenza è anche uniforme.
Allora, la convergenza puntuale è facile:
$lim_(n\to+oo) f_n(x)=lim_(n\to+oo)(1+x/n)^n=e^x \forallx\in[0,1]$
Sia $h_n(x)=e^x-f_n(x)$ Ora per la convergenza uniforme devo verificare che $lim_(n\to +oo) \text(sup)_{x\in[0,1]}|h_n(x)|=0$
Faccio la derivata per cercare il massimo.
$h_n'(x)=e^x-(1+x/n)^(n-1)>e^x-(1+x/n)^n$
Se riesco a dimostrare che $e^x-(1+x/n)^n>=0$ avrei che $h_n(x)$ è ...
Ciao a tutti, ho due dubbi molto stupidi riguardo alle serie numeriche.
1) Supponiamo di avere una serie numerica a segni alterni dipendente da un parametro $x inRR$ nella forma $sum(-1)^na_n(x)$. Imponendo una condizione sul parametro del tipo $x in(a,b)$, affinché si abbia convergenza secondo Leibniz la successione associata deve essere monotòna decrescente su tutto $RR$ oppure è sufficiente che lo sia solo localmente sull'intervallo $(a,b)$?
Questo ...
Salve a tutti, mi trovo a dover dimostrare l'esistenza o meno della derivata direzionale per
$f(xy)=(2x^2y)/(x^4+y^2)$, sapendo che $f(0,0)=(0,0)$
quello che faccio è impostare il limite
$lim _{t->0} (f(0+tv_1, 0+tv_2)-f(0,0))/t$
ossia
$lim_{t->0} 1/t(2t^3v_1^2v_2)/(t^2(t^2v_1^4+v_2))$
$=lim_{t->0} (2v_1^2v_2)/(t^2(v_1^4+v_2))$
da qua posso dire che il limite non esiste finito e quindi la funzione non ammette derivate direzionali $(\partial f)/(\partialv) (0,0)$ per ogni $v$ in $RR^2$?
è corretto dire così?
Buongiorno, potreste aiutarmi su questa tipologia di esercizi ? Non sono sicuro nè dei procedimenti nè delle implicazioni
Sia S la superficie di equazioni parametriche
$ { ( x=sinv ),( y=u-v ),( z=cosv ):} $ dove (u;v) appartengono a D e D è un triangolo di vertici (0;0) (1;0) (1;1)
Calcolare l'integrale superficiale $ int_S (z^2)/sqrt(1-x^2) dsigma $
Ho calcolato la matrice delle derivate parziali della superficie da cui facendo la radice del quadrato dei 3 determinanti ottengo che N=1
Ora, devo sostituire le x,y,z ...
Buona sera a tutti, l'esercizio che vado a proporvi probabilmente vi risulterà banale, tuttavia vi sarei grato rispondeste e mi deste una mano a capire il mio errore e soprattutto ad indicarmi il corretto procedimento
il testo del problema assegnato dice:
Passando in coordinate cilindriche calcolare
$\int $ f(x, y, z) dxdydz con
f(x, y, z) = 1 ; R = {(x, y, z) ∈ R3| x^2+y^2+z^2= x^2+y^2
sono passato alle coordinate polari tuttavia non riesco ad esplicitare p e z.
di ...
Sono alle prese con il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Come passo da: $ |(F(y)-F(x))/(y-x)-f(x)|<=|(int_(x)^y|f(t)-f(x)|dt)/(y-x)| $
a: $ |(F(y)-F(x))/(y-x)-f(x)|<varepsilon $ ?
So che bisogna sfruttare la continuità di f: esiste infatti un intorno di x tale che $ |f(y)-f(x)|<varepsilon $ per ogni y appartenente all'intorno. Purtroppo non riesco a spiegarmi quel passaggio.
Ciao, ho bisogno di una mano con questo esercizio:
Studiare la convergenza della serie \[\sum_{n=2}^{\infty} \displaystyle\frac{\log^2(1+\frac{1}{n^{\alpha}})}{\log n\log^2\log n}\] in dipendenza dal parametro \(\alpha\in\mathbb{R}\)
Supponendo \(\alpha \in (0, +\infty)\), il numeratore è asintotico a \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\). Per il criterio di condensazione la serie si comporta come \[2^na_n=\displaystyle\frac{2^n}{2^{2\alpha n}n\log 2\log^2(n\log 2)}\] ...
Questi sono gli appunti di una scarna e alquanto incomprensibile dimostrazione che il nostro professore ha fatto a lezione circa una delle condizioni del teorema delle funzioni differenziabili, cioè differenziabilità implica esistenza del piano tangente. Tuttavia non riesco a capire granché dei passaggi che ha fatto: qualcuno può aiutarmi?
Forse è una cosa banale, ma evidentemente non per me.
Devo dimostrare che \(\displaystyle E_n=\begin{Bmatrix}
x \in \mathbb{N} |x\leq n
\end{Bmatrix} \) è un insieme finito.
In altre parole devo far vedere che non c'è modo di trovare una bijezione tra \(\displaystyle E_n \) e un qualunque suo sottoinsieme.
Ho tentato per induzione, ma alla fine si arriva a dover dimostrare che l'unione di due insiemi finiti è un insieme finito, di nuovo punto e accapo.
C'è ovviamente la soluzione brute-force ...
Ciao ragazzi buon pomeriggio, volevo porre una domanda che potrebbe essere banale, ma spero mi rispondiate lo stesso.
Allora la domanda è questa: il $lim (f(x))/(g(x))$ è uguale a $lim ((g(x))/(f(x)))^-1$ quindi se il $lim (g(x))/(f(x)) = l$ allora $lim (f(x))/(g(x))=(l)^-1$? Con l appartenente ai reali estesi
Ho il seguente esercizio:
"Dimostra che per ogni $n>0$ $int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx=\prod_{k=1}^{n}(2k)/(2k-1)$"
Io ho svolto cosi:
Chiamo $I_n=int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx$ e calcolo $I_1$
$I_1=int_{0}^{1} (1-x^2)dx=2/3$
Provo a calcolare $I_n$ per parti
$I_n=[x(1-x^2)^n]_{0}^{1} - int_{0}^{1} n(1-x^2)^(n-1)(-2x)dx$
Ora come continuo??
So che dovrei ricondurre la scrittura a qualcosa del tipo $I_n=?? I_(n-1)$ ma non so come fare
Buongiorno, sono alle prime armi con questo tipo di esercizi e mi trovo in difficoltà su come incominciare
$ int_(pi/2)^(pi) (x^2)/([(e^(2x)-1)sinx]^alpha) dx $
ho notato che presenta problemi al secondo estremo di integrazione, perchè in quel caso il denominatore si annulla. Quindi devo calcolare
$ lim_(c -> pi^-)int_(pi/2)^(c) (x^2)/([(e^(2x) -1)sinx]^alpha) dx $
giusto? Da qui non capisco come dovrei procedere...un aiutino?
Grazie in anticipo
salve a tutti, sono nuovo del forum e pertanto spero di aver scritto la domanda nella giusta sezione.
vi espongo subito il mio problema:
D= {(x,y): x^2
$ { ( 1+arctan(y/x) text( se |y|<x^2) ),( 3x-2y+1 text( se |y|>=x^2)):} $
Mi viene chiesto se sono vere/false:
(1) f è derivabile lungo qualsiasi direzione in (0,0)
(2) f è differenziabile in (0,0)
Grafico con la parte colorata riferita alla seconda espressione della funzione: https://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(y)%3E%3Dx%5E2
Sono partito da (2) e discuto subito la continuità:
f(0,0)=0
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1+arctan(y/x) $
Passo alle coordinate polari e ottengo: 1 + theta --> il limite non esiste, allora non è continua
Il punto (1) mi risulta sbagliato: prova a calcolare la derivata parziale ...
non riesco a capire come il prof ha svolto questo limite. PIù che altro non ho capito il terzo passaggio dove l'argomento del logaritmo diventa $1/x$
$\lim_{x \to \0+}x(3-log^2 x)= \lim_{x \to \0+} (3x-xlog^2 x )= \lim_{x \to \0+} 3x - \lim_{x \to \0+}(log^2 (1/x))/(1/x)= -\lim_{y \to \infty}log^2 y /y = 0$
Buongiorno ragazzi! Ho dei problemi relativi a questo esercizio... Non ho idea su come risolverlo! Potete darmi una mano? Grazie.
Tra le rette del fascio definito dalle seguenti due:
x= 3y , -2x+y-2/3=0
determinare la retta passante per l'origine e la retta per il punto di coordinate (-1,1)
Ragazzi, posto l'esercizio e i miei risultati perchè non ho modo di capire se si tratta di un mio errore o un errore nella soluzione
( Quindi non richiedo la risoluzione dell'esercizio, ma solo un confronto sul risultato )
Dati i punti $ O(0,0), A(1,0), B(0,1) $ sia gamma la curva chiusa data dall' unione del segmento OA, dall'arco di circonferenza di centro O e di raggio 1 che congiunge A con B e dal segmento BO
Calcolare l'integrale curvilineo ( seconda specie ) di F con gamma orientata in senso ...
Nel dimostrare l'esistenza o meno di un limite esistono diversi metodi:
- ricorso alle restrizioni
- passaggio alle coordinate polari
- riduzione del limite mediante limiti notevoli
- teorema del confronto.
Se per l'applicazione dei primi tre non dovrei avere grandi problemi (a meno naturalmente di limiti particolarmente ostici), per il teorema del confronto ho veramente difficoltà nel capire come avviene la costruzione (se poi di costruzione è possibile parlare) di funzioni maggioranti e/o ...
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