Analisi matematica di base

Ciao a tutti, avendo tale matrice simmetrice definita positiva: $ ( ( x , y , y , 0 , 0 , 0 ),( y , x , y , 0 , 0 , 0 ),( y , y , x , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , z , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , z , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , z ) ) $ il mio libro afferma che il minore principale in alto a sinistra di ordine 3 ha determinante maggiore di zero e ciò mi è chiaro infatti sappiamo che per il criterio di Sylvester: tutte le sottomatrici quadrate superiori sinistre hanno determinante positivo. Quello che non riesco a capire è perché è possibile anche affermare che il determinante della sottomatrice: $ ( ( z , 0 , 0 ),( 0 , z , 0 ),( 0 , 0 , z ) ) $ sia maggiore di ...

Buongiorno a tutti ho qui questo esercizio sulle Superfici sulle quali ho un dubbio : Sia $S$ la superficie grafico della funzione $f(x,y) = x^2cosy$ , $ (x,y)\in [0,1]$ X $[0,pi/2]$ Sia inoltre $F$ il campo vettoriale in $RR^3$ definito da : $F(x,y,z) = sen^2y\ i + x^2 j + (x^4 seny)/(z^2+1) k$ Calcolare il flusso del campo $F$ attraverso $S$ orientata nel verso usuale E' possibile risolvere l'esercizio utilizzando il teorema della divergenza in ...

Ho un problema in merito all'intervallo di esistenza dell'equazioni differenziali. In generale so che il punto dato dal problema di cauchy deve essere contenuto in quell'intervalo. e questo intervallo non deve contenere buchi. Il mio problema è la poca chiarezza nel dove studiare l'esistenza o menoo delle funzioni. Cioè di quali funzioni esattamente devo studiare il dominio? Della mia soluzione finale? o anche: quando divido e moltiplico per ricavarmi la forma "giusta" per integrare, devo ...

Salve, ho un problema con il seguente esercizio: $ lim_(n -> oo) [root(5)(n^15+n^14) - root(5)(n^15+9)]/(n* (root(2) (n^2+1)-ln(n)) $ La prima cosa che ho fatto è quella di trascurare( confronto asintotico) il logaritmo e quindi mi risulta: $ lim_(n -> oo) [root(5)(n^15+n^14) - root(5)(n^15+9)]/(n* (root(2) (n^2+1)) $ Però ora non so come andare avanti perché se razionalizzo non mi ritorna il risultato di 1/5. Grazie mille a chi risponderà.

Raga ancora una volta confido in voi, la mia inesperienza non mi permette grandi cose, vi propongo questo limite $Lim_(x->0) (log((x+x^9)/(x+2x^8)))/(sqrt(x^4+8x^6)sen(x^5))$ Il risultato è $-2$. Il logaritmo tende a 1 quindi fa 0 al numeratore, al denominatore isolando $x^4$ ottengo $x^2sqrt(1+8x^2)sen(x^5)$ e quel $x^2$ mi annulla anche il denominatore, mentre il seno lo faccio col limite notevole e tende a uno e ok, ma comunque rimane quell $x^2$ che diventerebbe poi tra l'altro una ...

Buonasera a tutti, non riesco a dimostrare la convergenza della seguente serie: $ sum_(n=1) (ln n -ln (ln n ))/n^2 $ Ho provato con tutti i criteri utilizzati solitamente ma nulla. Qualcuno riesce a darmi una mano? Grazie mille. Buona serata. N.B: non sono riuscito ad inserirlo, ma la serie va da 1 a +infinito.

Salve, ho affrontato oggi questo esercizio: - $\sum_{n=1}^(+oo)((1 - n^(1 / 2) + n) / n)^(n^(3 / 2))$ Ed ho ragionato così: "se tolgo il +1 al numeratore e riscrivo l'esponente ottengo un argomento che tende a 1/(e^n) ed una serie con questo argomento converge". il ragionamento è valido? va bene? devo fare qualche passaggio in più o sono totalmente fuori strada? $((1 - n^(1 / 2) + n) / n)^(n^(3 / 2))$ -> $(-1/(n^(1/2)) + 1) ^(n*n^(1 / 2))$ -> $(1/e)^n$

Salve a tutti, facendo esercizi mi sono imbattuto in questo integrale che non riesco a risolvere: $\int e^x[log(e^x-2)-log(e^(2x)+1)] dx$ La prima cosa a cui ho pensato è l'integrazione per parti avendo $e^x$ di facile integrazione ma non riesco comunque a risolvere l'integrale a secondo membro quindi sono a un punto morto.. Vorrei quindi sapere: è la strada giusta e mi sono solo bloccato o c'è un altro metodo? avete suggerimenti? Grazie

Ho questo esercizio: Determinare il limite puntuale della successione di funzioni $f_n(x)=(1+x/n)^n$ nell'intervallo $[0,1]$e verificare se la convergenza è anche uniforme. Allora, la convergenza puntuale è facile: $lim_(n\to+oo) f_n(x)=lim_(n\to+oo)(1+x/n)^n=e^x \forallx\in[0,1]$ Sia $h_n(x)=e^x-f_n(x)$ Ora per la convergenza uniforme devo verificare che $lim_(n\to +oo) \text(sup)_{x\in[0,1]}|h_n(x)|=0$ Faccio la derivata per cercare il massimo. $h_n'(x)=e^x-(1+x/n)^(n-1)>e^x-(1+x/n)^n$ Se riesco a dimostrare che $e^x-(1+x/n)^n>=0$ avrei che $h_n(x)$ è ...

Ciao a tutti, ho due dubbi molto stupidi riguardo alle serie numeriche. 1) Supponiamo di avere una serie numerica a segni alterni dipendente da un parametro $x inRR$ nella forma $sum(-1)^na_n(x)$. Imponendo una condizione sul parametro del tipo $x in(a,b)$, affinché si abbia convergenza secondo Leibniz la successione associata deve essere monotòna decrescente su tutto $RR$ oppure è sufficiente che lo sia solo localmente sull'intervallo $(a,b)$? Questo ...

Salve a tutti, mi trovo a dover dimostrare l'esistenza o meno della derivata direzionale per $f(xy)=(2x^2y)/(x^4+y^2)$, sapendo che $f(0,0)=(0,0)$ quello che faccio è impostare il limite $lim _{t->0} (f(0+tv_1, 0+tv_2)-f(0,0))/t$ ossia $lim_{t->0} 1/t(2t^3v_1^2v_2)/(t^2(t^2v_1^4+v_2))$ $=lim_{t->0} (2v_1^2v_2)/(t^2(v_1^4+v_2))$ da qua posso dire che il limite non esiste finito e quindi la funzione non ammette derivate direzionali $(\partial f)/(\partialv) (0,0)$ per ogni $v$ in $RR^2$? è corretto dire così?

Buongiorno, potreste aiutarmi su questa tipologia di esercizi ? Non sono sicuro nè dei procedimenti nè delle implicazioni Sia S la superficie di equazioni parametriche $ { ( x=sinv ),( y=u-v ),( z=cosv ):} $ dove (u;v) appartengono a D e D è un triangolo di vertici (0;0) (1;0) (1;1) Calcolare l'integrale superficiale $ int_S (z^2)/sqrt(1-x^2) dsigma $ Ho calcolato la matrice delle derivate parziali della superficie da cui facendo la radice del quadrato dei 3 determinanti ottengo che N=1 Ora, devo sostituire le x,y,z ...

Buona sera a tutti, l'esercizio che vado a proporvi probabilmente vi risulterà banale, tuttavia vi sarei grato rispondeste e mi deste una mano a capire il mio errore e soprattutto ad indicarmi il corretto procedimento il testo del problema assegnato dice: Passando in coordinate cilindriche calcolare $\int $ f(x, y, z) dxdydz con f(x, y, z) = 1 ; R = {(x, y, z) ∈ R3| x^2+y^2+z^2= x^2+y^2 sono passato alle coordinate polari tuttavia non riesco ad esplicitare p e z. di ...

Sono alle prese con il teorema fondamentale del calcolo integrale. Come passo da: $ |(F(y)-F(x))/(y-x)-f(x)|<=|(int_(x)^y|f(t)-f(x)|dt)/(y-x)| $ a: $ |(F(y)-F(x))/(y-x)-f(x)|<varepsilon $ ? So che bisogna sfruttare la continuità di f: esiste infatti un intorno di x tale che $ |f(y)-f(x)|<varepsilon $ per ogni y appartenente all'intorno. Purtroppo non riesco a spiegarmi quel passaggio.

Ciao, ho bisogno di una mano con questo esercizio: Studiare la convergenza della serie \[\sum_{n=2}^{\infty} \displaystyle\frac{\log^2(1+\frac{1}{n^{\alpha}})}{\log n\log^2\log n}\] in dipendenza dal parametro \(\alpha\in\mathbb{R}\) Supponendo \(\alpha \in (0, +\infty)\), il numeratore è asintotico a \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\). Per il criterio di condensazione la serie si comporta come \[2^na_n=\displaystyle\frac{2^n}{2^{2\alpha n}n\log 2\log^2(n\log 2)}\] ...

Questi sono gli appunti di una scarna e alquanto incomprensibile dimostrazione che il nostro professore ha fatto a lezione circa una delle condizioni del teorema delle funzioni differenziabili, cioè differenziabilità implica esistenza del piano tangente. Tuttavia non riesco a capire granché dei passaggi che ha fatto: qualcuno può aiutarmi?

Forse è una cosa banale, ma evidentemente non per me. Devo dimostrare che \(\displaystyle E_n=\begin{Bmatrix} x \in \mathbb{N} |x\leq n \end{Bmatrix} \) è un insieme finito. In altre parole devo far vedere che non c'è modo di trovare una bijezione tra \(\displaystyle E_n \) e un qualunque suo sottoinsieme. Ho tentato per induzione, ma alla fine si arriva a dover dimostrare che l'unione di due insiemi finiti è un insieme finito, di nuovo punto e accapo. C'è ovviamente la soluzione brute-force ...

Ciao ragazzi buon pomeriggio, volevo porre una domanda che potrebbe essere banale, ma spero mi rispondiate lo stesso. Allora la domanda è questa: il $lim (f(x))/(g(x))$ è uguale a $lim ((g(x))/(f(x)))^-1$ quindi se il $lim (g(x))/(f(x)) = l$ allora $lim (f(x))/(g(x))=(l)^-1$? Con l appartenente ai reali estesi

Ho il seguente esercizio: "Dimostra che per ogni $n>0$ $int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx=\prod_{k=1}^{n}(2k)/(2k-1)$" Io ho svolto cosi: Chiamo $I_n=int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx$ e calcolo $I_1$ $I_1=int_{0}^{1} (1-x^2)dx=2/3$ Provo a calcolare $I_n$ per parti $I_n=[x(1-x^2)^n]_{0}^{1} - int_{0}^{1} n(1-x^2)^(n-1)(-2x)dx$ Ora come continuo?? So che dovrei ricondurre la scrittura a qualcosa del tipo $I_n=?? I_(n-1)$ ma non so come fare

Buongiorno, sono alle prime armi con questo tipo di esercizi e mi trovo in difficoltà su come incominciare $ int_(pi/2)^(pi) (x^2)/([(e^(2x)-1)sinx]^alpha) dx $ ho notato che presenta problemi al secondo estremo di integrazione, perchè in quel caso il denominatore si annulla. Quindi devo calcolare $ lim_(c -> pi^-)int_(pi/2)^(c) (x^2)/([(e^(2x) -1)sinx]^alpha) dx $ giusto? Da qui non capisco come dovrei procedere...un aiutino? Grazie in anticipo