Problema con formule di Gauss Green
salve a tutti, sono nuovo del forum e pertanto spero di aver scritto la domanda nella giusta sezione.
vi espongo subito il mio problema:
D= {(x,y): x^2<= y <= 4}
il problema mi chiede di calcolare l'integrale curvilineo dato l'integrale doppio esteso al dominio D $\int dx f(x y)dx dy$
applicando gauss green e parametrizzando le due curve ho ottenuto che un integrale scompare, tuttavia vorrei, se possibile, un chiarimento sui segni e sul verso della frontiera in quanto il verso è antiorario e di conseguenza i due integrali dovrebbero avere uno estremi -2 e 2 mentre l'altro, visto il verso di percorrenza, 2 e -2.
nell' esempio fornito da mio professore tuttavia si ha che entrambi gli integrali variano da -2 a 2 ed inoltre sono sommati tra di loro (quindi non ha invertito gli estremi di integrazione cambiando il segno davanti all'integrale).
grazie in anticipo e spero che si capisca tutto.
Federico
vi espongo subito il mio problema:
D= {(x,y): x^2<= y <= 4}
il problema mi chiede di calcolare l'integrale curvilineo dato l'integrale doppio esteso al dominio D $\int dx f(x y)dx dy$
applicando gauss green e parametrizzando le due curve ho ottenuto che un integrale scompare, tuttavia vorrei, se possibile, un chiarimento sui segni e sul verso della frontiera in quanto il verso è antiorario e di conseguenza i due integrali dovrebbero avere uno estremi -2 e 2 mentre l'altro, visto il verso di percorrenza, 2 e -2.
nell' esempio fornito da mio professore tuttavia si ha che entrambi gli integrali variano da -2 a 2 ed inoltre sono sommati tra di loro (quindi non ha invertito gli estremi di integrazione cambiando il segno davanti all'integrale).
grazie in anticipo e spero che si capisca tutto.
Federico
Risposte
La butto lì, forse ha scaricato il meno sulla parametrizzazione, cioè ha messo $(x=-t,y=4), t\in[-2,2]$ anziché $(x=t,y=4), t\in[2,-2]$
in effetti ho fatto così, siccome il senso era antiorario ho pensato che bisognasse prendere gli estremi di integrazione rispettando il verso.
è una cosa sbagliata?
è una cosa sbagliata?
Purchè tu sia coerente dall'inizio alla fine puoi scegliere tu come parametrizzare. Ad esempio puoi decidere di parametrizzare tutto conservando l'ordinamento usuale negli intervalli e poi mettere un segno negativo davanti all'integrale orientato in verso opposto oppure sommare tutti gli integrali e agire invertendo gli estremi.
Nel caso in esame come ho detto, se il tuo prof ha seguito la prima parametrizzazione che ho scritto, il meno finisce nascosto nell'argomento della funzione di cui vai a calcolare l'integrale curvilineo. Io preferisco sempre parametrizzare con segni positivi ed intervalli ordinati in modo usuale e poi mettere un meno dove serve, secondo me si commettono meno errori ma sai ognuno ha la sua strada
Nel caso in esame come ho detto, se il tuo prof ha seguito la prima parametrizzazione che ho scritto, il meno finisce nascosto nell'argomento della funzione di cui vai a calcolare l'integrale curvilineo. Io preferisco sempre parametrizzare con segni positivi ed intervalli ordinati in modo usuale e poi mettere un meno dove serve, secondo me si commettono meno errori ma sai ognuno ha la sua strada
grazie mille del chiarimento!!
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