Maggioranti e minoranti
Nel dimostrare l'esistenza o meno di un limite esistono diversi metodi:
- ricorso alle restrizioni
- passaggio alle coordinate polari
- riduzione del limite mediante limiti notevoli
- teorema del confronto.
Se per l'applicazione dei primi tre non dovrei avere grandi problemi (a meno naturalmente di limiti particolarmente ostici), per il teorema del confronto ho veramente difficoltà nel capire come avviene la costruzione (se poi di costruzione è possibile parlare) di funzioni maggioranti e/o minoranti. Il mio professore ha ahimè toccato soltanto marginalmente l'argomento, asserendo sì come sia possibile conoscendo il comportamento di una funzione ad es. maggiorante di $f(x,y)$, che chiamiamo $g(x,y)$, dedurre il comportamento della mia funzione di partenza, ma senza tuttavia menzionare in alcun modo come, operativamente parlando, sia possibile individuare tale maggiorante. Diciamo che leggendo un po' qua e là su internet ho trovato che:
- $sinx<=x$
- $sinx<=1$
- $(x+y)<=(x)+(y)$
- $ln(1+x)<=x$
- $e^x>=1+x$
- $a^2<=a^2+b^2$
e via dicendo. Ma come è ovvio che avvenga è pressoché impossibile trovarsi dinanzi ad $f(x,y)$ così elementari, ragion per cui da qui sorge il problema di come individuare la mia $g(x,y)$ maggiorante/minorante. Devo inizialmente operare soltanto sulla $f(x,y)$ in modo tale da ricondurla ad uno di questi casi "notevoli" e poter così applicare il teorema dei carabinieri? Oppure esiste un modo per costruire dal nulla una funzione maggiorante conoscendo la funzione originaria? Grazie davvero a chiunque voglia darmi una mano a capire
- ricorso alle restrizioni
- passaggio alle coordinate polari
- riduzione del limite mediante limiti notevoli
- teorema del confronto.
Se per l'applicazione dei primi tre non dovrei avere grandi problemi (a meno naturalmente di limiti particolarmente ostici), per il teorema del confronto ho veramente difficoltà nel capire come avviene la costruzione (se poi di costruzione è possibile parlare) di funzioni maggioranti e/o minoranti. Il mio professore ha ahimè toccato soltanto marginalmente l'argomento, asserendo sì come sia possibile conoscendo il comportamento di una funzione ad es. maggiorante di $f(x,y)$, che chiamiamo $g(x,y)$, dedurre il comportamento della mia funzione di partenza, ma senza tuttavia menzionare in alcun modo come, operativamente parlando, sia possibile individuare tale maggiorante. Diciamo che leggendo un po' qua e là su internet ho trovato che:
- $sinx<=x$
- $sinx<=1$
- $(x+y)<=(x)+(y)$
- $ln(1+x)<=x$
- $e^x>=1+x$
- $a^2<=a^2+b^2$
e via dicendo. Ma come è ovvio che avvenga è pressoché impossibile trovarsi dinanzi ad $f(x,y)$ così elementari, ragion per cui da qui sorge il problema di come individuare la mia $g(x,y)$ maggiorante/minorante. Devo inizialmente operare soltanto sulla $f(x,y)$ in modo tale da ricondurla ad uno di questi casi "notevoli" e poter così applicare il teorema dei carabinieri? Oppure esiste un modo per costruire dal nulla una funzione maggiorante conoscendo la funzione originaria? Grazie davvero a chiunque voglia darmi una mano a capire
Risposte
Maggiorare e minorare in genere non è facile. Diciamo che spesso è possibile usare delle maggiorazioni piuttosto standard, ricordando la regola d'oro di togliere dal numeratore e aggiungere al numeratore.
Passare alle coordinate spesso aiuta perché come hai ricordato seno e coseno sono funzioni limitate superiormente da $1$.
Oltre alle maggiorazioni più classiche, ti può essere utile conoscere queste.
P.S. $(x+y)<=(x)+(y)$ che senso ha? Inoltre, l'ultima è ovviamente ovvia
Passare alle coordinate spesso aiuta perché come hai ricordato seno e coseno sono funzioni limitate superiormente da $1$.
Oltre alle maggiorazioni più classiche, ti può essere utile conoscere queste.
P.S. $(x+y)<=(x)+(y)$ che senso ha? Inoltre, l'ultima è ovviamente ovvia
"mobley":
ricorso alle restrizioni
Con le restrizioni non riesci a dimostrare l'esistenza, semmai, ti puoi convincere di quale sia il valore a cui arrivare. Infatti, dovresti controllare il limite lungo infinite curve, cosa impossibile! Se trovi però due valori diversi, puoi immediatamente concludere che il limite non esiste.
Grazie per la risposta anzitutto, e naturalmente per il link.
Come temevo, purtroppo, non esiste una metodologia applicativa ma si va molto ad intuito. In ogni caso, come giustamente hai ribadito tu, con "ricorso alle restrizioni" intendevo proprio il dimostrare l'eventuale inesistenza o meno del limite. Una sola domanda: cosa intendi precisamente con maggiorare il numeratore e minorare il denominatore?
Come temevo, purtroppo, non esiste una metodologia applicativa ma si va molto ad intuito. In ogni caso, come giustamente hai ribadito tu, con "ricorso alle restrizioni" intendevo proprio il dimostrare l'eventuale inesistenza o meno del limite. Una sola domanda: cosa intendi precisamente con maggiorare il numeratore e minorare il denominatore?
"Weierstress":
Maggiorare e minorare in genere non è facile. Diciamo che spesso è possibile usare delle maggiorazioni piuttosto standard, ricordando la regola d'oro di togliere dal numeratore e aggiungere al numeratore.
Mai affermazione è stata più vera
"anto_zoolander":
Mai affermazione è stata più vera
Ho i miei momenti
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