Analisi matematica di base
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Si consideri il problema di Cauchy: $u'=(u-t)/(u+t^2+1)\ , \ u(0)=a$ [con $u$ si sottintende $u(t)$].
1) Studiare l'esistenza globale nel passato e nel futuro per $a<-1$
Si ha che $u'$ è localmente lipschitziana dove definita, quindi vi sono esistenza ed unicità locali.
Sulla retta $u(t)=t$ si ha $u'(t)=0$.
La curva $u=-1-t^2$ è quella che causa la morte delle soluzioni.
Ora se $a<-1$ vuol dire che le soluzioni sono ...
Come da titolo sto avendo difficoltà nel determinare la convergenza delle seguenti serie:
$ sum((n!*n^2)/alpha^(n^2)) $ con $ alpha>0 $ e l'indice n che va da 0 a infinito
$ sum(2^(n^(alpha^2))/(n!)) $ con $ alpha in R $ e l'indice n che va da 2 a infinito
Evidentemente sbaglio l'approccio o mi sfugge qualcosa perchè anche applicando i teoremi non ne vengo a capo.
Salve a tutti, mi trovo al cospetto di questa traccia d'esercizio :
"Si calcoli la lunghezza della curva di equazione polare
$ rho =sin^2(theta) $ $ theta in [-pi, pi] $
Ho proceduto secondo la formula :
$ l(gamma) = int_-pi ^pi sqrt(rho^2(theta) + rho '^2 (theta)) d theta $ ottenendo :
$ l(gamma) = int _-pi ^pi sqrt ( (sin^4(theta) + 4 sin^2(theta) cos^2 (theta))) d theta $ .
Il problema è che arrivato a questo punto sono in vicolo cieco.
Ho provato a riscrivere l'integrale come :
$ int _-pi ^pi... = int _-pi ^pisqrt ( sin^2(theta) * (sin^2(theta) + 4 cos^2 (theta))) d theta =int_-pi ^pi sqrt ( (sin^2(theta) * (sin^2 (theta) + 4 - 4 * sin^2 (theta))) d theta $
$ = int _-pi ^pi sqrt ( sin ^2 (theta) * ( 4 - 3 * sin^2 (theta))) d theta $ $ = int _-pi ^pi sqrt ( sin ^2 (theta) * ( 4 - 3 * sin^2 (theta))) d theta $.
Ho poi provato la ...
Buonasera, vi pongo quest'esercizio: $lim_(x->0) (1-(e^x)^2)/(x^3 + sqrtx)$. Ho impostato l'o piccolo del numeratore, che dovrebbe essere $1-(1+x^2 +o(x))$. Il denominatore non so come impostarlo in termini di o piccolo, sapreste darmi gentilmente una mano?
Ciao a tutti,
Mi sto preparando all'esame di Analisi 2 e ho un piccolo problema con i cambiamenti di variabile...
Stavo facendo un esercizio che richiedeva di trasformare un integrale dato in coordinate polari, vi aggiungo una foto di ciò che ho provato a fare:
Ho provato a calcolare gli estremi di integrazione andando a sostituire le coordinate polari alle limitazioni dell'integrale dato e svolgendo i calcoli arrivo a due sistemi, uno dei due è corretto e ...
Determinare massimi e minimi assoluti se esistono di $f(x,y)=2x^2+xy+2y^2$ soggetta ai vincoli $x>0, x^2+2xy=1$
Ho provato con il metodo dei moltiplicatori di lagrange ma viene impossibile il sistema , poi annullando il gradiente ma non ho ottenuto niente anche in quel caso...
avete qualche idea?
Ciao ragazzi. Sono rimasto bloccato con lo studio della convergenza di questa serie
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2$$
Ho provato con il criterio del confronto ma non trovo nulla di buono.
Dato che $\arctan(x)\geq\frac{\pi}{4}x$ per ogni x in [0,1] ottengo:
$$\begin{array}{l}
\left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2\leq ...
Qualcuno potrebbe aiutarmi con questa serie numerica.
\( \sum_{n=1 }^{∞} \frac{n!n^3}{n^n} \)
Avevo pensato di risolverla con il criterio del confronto asintotico, ma l'asintotico mi esce \( \frac{n!}{n^n} \)
e andando a fare il limite mi esce infinito e non 1.
p.s. sono i primi esercizi che faccio qualcuno potrebbe spiegarmi se il confronto che ho utilizzato è giusto o ho fatto qualche errore?
Dopo una spiegazione dell'ottimo utente del forum mi accorgo che non so usare sempre bene le stime asintotiche in particolare il mio dubbio verte sul punto che non capisco quando semplificare o meno una forma, vi porto degli esempi svolti dall'eserciziario sperando un una mano sul capire come usare
1) $arctan(x)/sqrt(1+x^3)~pi/(2x^(3/2))$ per $x->∞$
cioè qui ho proprio sostituito il risultato del limite di arctan all'infinito che fa pi/2
mentre
2) $arctan(1/x) $ [tex]\sim[/tex] ...
Salve ragazzi, ho un dubbio sul metodo per calcolare la derivabilità di una funzione in un punto. Mi spiego:
Il metodo corretto dovrebbe essere quello che si rifà alla definizione di derivata e quindi:
$ lim_(h-> 0^+-) (f(x+h)-f(x))/h $
In molti esercizi trovo invece: $ lim_(x-> x0)f^I(x0) $ .
in ogni caso i due limiti devono coincidere a un valore c perchè la funzione sia derivabile in quel punto.
il problema sta principalmente nella pratica. Molte volte il secondo metodo risulta essere più "semplice" del ...
$V={x^2+y^2+z^2<=4 ;z>=1}$ Calcolare $\int int int x^2yz dxdydz$ su $V$
Passando alle coordinate sferiche mi vengono i seguenti intervalli:$0< \theta <2\pi,0<\phi<\pi/3,0<\rho<2$ e quindi l'integrale generale mi viene 0 , non capisco dove sbaglio.
$lim_(n->infty) (4-3e^(1/n))^(3n)$
$lim_(n->infty) (4-3e^(1/n))^(3n) = lim_(n->infty) 3n log (4-3e^(1/n))=... $
..Impasse totale: non riesco a ricondurre il tutto al "limite neperiano" (fondamentale)!!!
un bicchiere di metallo(senza tappo) ha forma cilindrica. siano r il raggio di base e h l'altezza. se S indica la superficie totale del metallo usato e V il volume totale del bicchiere, trovare fissato V, quale può essere la sua superficie minima.
come devo procedere?
dove calcolare una derivata?
se oltre alla superficie minima voglio calcolare quella massima come devo procedere?
grazie a tutti!
Si deve mostrare che x>log(x+1)
Il mio eserciziario per mostrare che nell'intervallo (0,1] la funzione x-log(x+1) sia positiva dice "si ottiene studiando la monotonia di g(x)=x-log(x+1) sinceramente non conprendo come studiare la derivata prima mi possa far capire che sia sempre positiva.
Purtroppo non specifica oltre e non capisco
salve ragazzi!
devo risolvere il seguente integrale: $ int_(pi/2)^(pi) | sinxcosx | dx $
io pensavo di procedere così:
visto che devo lavorare tra$ pi/2 $e $pi$ noto che in questo intervallo il sinx è positivo mentre il cosx è negativo
$ int_(pi/2)^(pi) sinx(-cosx) dx $
adesso pensavo di integrare per parti:
$f= sinx $ $ f(primo)= cosx$
$g(primo)=-cosx $ $ g=-sinx$
$ sinx(-sinx)-int_(pi/2)^(pi)cosx(-sinx) dx $
$ -sin^2x -int_(pi/2)^(pi) cosx(-sinx) dx $
integro ancora per parti:
$f=-sinx $ ...
Sera, cercavo una via più comoda per questo limite. Sto infatti preparando analisi 1 e devo dire che non mi sarebbe mai venuto in mente di andare a sostituire $y=1/x$ e porre poi $z=y-y^2$ e svilpuppare poi e^z con McLaurin
$lim_(x->-∞) log(1-e^((x-1)/x^2))/x$
Mi rendo conto che mi manchi lo spunto alle volte. Non capisco se mi manchi qualche strategia o sia semplicemente negato nel trovare quella sostituzione .
Auspico qualche consiglio.
Questo studio di funzione in un compito sarebbe stato ...
Ciao a tutti, vorrei solo sapere se ho impostato correttamente l'integrale.
$ \int_A \sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz $
$ A=\{(x,y,z)^t\inRR^3| x^2+y^2+z^2\leq 1, z\geq 0, x^2+y^2-z^2\leq 0\} $
allora sono passato direttamente in coordinate sferiche, se ho ben capito è una sfera con dentro un cono, ma devo prendere solo la parte in cui si ha $z\geq 0$
quindi coordinate sferiche $ { ( x=\rho \sin\phi \cos\theta ),( y=\rho \sin\phi \cos\theta),( z=\rho \cos\phi ):} $
ovviamente lo Jacobiano $ Jac=\rho^2\sin\phi $
allora si ha che $ \rho \in [0,1] $
per l'angolo $\theta$ non ho restrizioni, quindi si ha ...
Ciao, come posso risolvere un integrale di questo tipo: \[\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(i(k_0-k)x-\alpha x^2/2) \ \text{d}x,\] dove \(\displaystyle \alpha, k_0\in \mathbb{R} \)? Ricondursi all'integrale dell'esponenziale è impossibile, e un'integrazione per parti non mi porta lontano...
Edit: integrando per parti, viene \[\displaystyle x\exp(i(k_0-k)x-\alpha x^2/2)\Big|_{-\infty}^{+\infty}-\int (i(k_0-k)x-\alpha x^2/2)\exp(i(k_0-k)x-\alpha x^2/2) \ dx \] prendendo come fattore ...
Buongiorno,
sto cercando di capire (dimostrare) perché lim x->c |f(x)*g(x)|=0 lim x->c f(x)*g(x)=0
Ma anche semplicemente lim x->c |f(x)|=0 lim x->c f(x)=0
Detto a parole perché se il limite di un valore assoluto va a zero, anche il limite della medesima funzione vada a zero.
Non riesco a trovare una dimostrazione.
VI ringrazio.
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