Analisi matematica di base

Ciao a tutti, vi sottopongo un limite: $\lim_{x \rightarrow infty} \frac{(1+1/x)^{x^2}}{2e^x+1}$ Quel che ho pensato di fare: vedo il numeratore come $((1+1/x)^{x})^x$, così che, usando il limite notevole dentro le parentesi più esterno, ottengo: $(e)^x = e^x$. Il risultato che ottengo per l'intero limite è quindi $1/2$. Per scrupolo ho usato wolfram alpha per una conferma, che ottiene invece come risultato $1/(2\sqrt{e})$. Dove sbaglio? edit: Ho notato che se scrivo il numeratore come $e^{x^2 \ln (1 + 1/x)}$ e ...

Mi si chiede il volume del seguente dominio: $A = { ( x, y, z ) | z ≤ 5 − x^2 − y^2 , 2 ≤ z ≤ 4 }$ Ho pensato di integrare per strati paralleli al piano xy, ho cambiato le variabili in polari trovando come estremi $0<\rho<=-z+5$ e $0<\theta<=2pi$.Per z invece è facile, varia da 2 a 4 Ho quindi integrato: $\int_2^4\int_0^(2pi)\int_0^(-z+5) (\rho)d\rho d\theta dz=26/3pi$ con rho jacobiano del cambiamento di coordinate Ma la soluzione dovrebbe essere $4pi$

Buon pomeriggio! In alcune dispense di probabilità, si parla di continuità da sopra e da sotto di una funzione. Mi sfugge il significato di questi due concetti...

Ho molti dubbi sul dominio di questo integrale triplo svolto a lezione oggi, $D={(x,y,z)\in RR^3|y>=x^2, y<=2-x, x>=0, z>=0, y<=4-x-z}$ e se ne richiede il volume del dominio di integrazione. Credo proprio di non capire perché integrando per fili, lungo z, prenda come estremi nell'integrale con dz, l'integrale che va per l'appunto da $0$ a $4-x-z$ Il mio problema è dovuto al fatto che $y<=4-x-z$ e $y<=2-x$ e non capisco il motivo per cui prenda $y<=4-x-z$ come superiore e non l'altro ...

$ sum_(n=0)^(+∞) ((-1)^n3^n)/(2n+1)x^n $ Se utilizzo il teorema di Cauchy-Hadamard per cui $ lim_(x -> ∞)root(n)(|a_n|) =l $ mi esce 3 quindi $ |x|<3 $ e la serie converge assolutamente. Ora la mia domanda è: Nella prova d'esame ho un esercizio del genere in cui mi dice di studiare una determinata serie di potenze, ma è possibile che la risoluzione è così semplice o c'è qualcos'altro da fare?

Buongiorno. Sto cercando di svolgere un esercizio che mi chiede di stabilire se i due gruppi A=(R, +) e B=(R+, *) sono isomorfi. Se non ho capito male devo definire una funzione di dominio A e codominio B. Già vedendo A e B credo che i due gruppi non siano isomorfi, in quanto hanno cardinalità diversa ma vorrei, se possibile, una conferma e magari un metodo che possa essere utilizzato in generale per questa tipologia di esercizio.

come si risolve questo esercizio? grazie in anticipo supposto che per $x in [2,4]$ sia: $ 1 <= f’’ (x) <= 2$, $ f’ (2) =-1$ e $ f(2) =3$ dire se: 1) $ f (3) <= 6 $ 2) $ f (3) <= 3 $ 3) $ f (3) <= 4 $ 4) $ f (4) <= 5 $ 5) nessuna delle precedenti

Si consideri il problema di Cauchy: $u'=(u-t)/(u+t^2+1)\ , \ u(0)=a$ [con $u$ si sottintende $u(t)$]. 1) Studiare l'esistenza globale nel passato e nel futuro per $a<-1$ Si ha che $u'$ è localmente lipschitziana dove definita, quindi vi sono esistenza ed unicità locali. Sulla retta $u(t)=t$ si ha $u'(t)=0$. La curva $u=-1-t^2$ è quella che causa la morte delle soluzioni. Ora se $a<-1$ vuol dire che le soluzioni sono ...

Come da titolo sto avendo difficoltà nel determinare la convergenza delle seguenti serie: $ sum((n!*n^2)/alpha^(n^2)) $ con $ alpha>0 $ e l'indice n che va da 0 a infinito $ sum(2^(n^(alpha^2))/(n!)) $ con $ alpha in R $ e l'indice n che va da 2 a infinito Evidentemente sbaglio l'approccio o mi sfugge qualcosa perchè anche applicando i teoremi non ne vengo a capo.

Salve a tutti, mi trovo al cospetto di questa traccia d'esercizio : "Si calcoli la lunghezza della curva di equazione polare $ rho =sin^2(theta) $ $ theta in [-pi, pi] $ Ho proceduto secondo la formula : $ l(gamma) = int_-pi ^pi sqrt(rho^2(theta) + rho '^2 (theta)) d theta $ ottenendo : $ l(gamma) = int _-pi ^pi sqrt ( (sin^4(theta) + 4 sin^2(theta) cos^2 (theta))) d theta $ . Il problema è che arrivato a questo punto sono in vicolo cieco. Ho provato a riscrivere l'integrale come : $ int _-pi ^pi... = int _-pi ^pisqrt ( sin^2(theta) * (sin^2(theta) + 4 cos^2 (theta))) d theta =int_-pi ^pi sqrt ( (sin^2(theta) * (sin^2 (theta) + 4 - 4 * sin^2 (theta))) d theta $ $ = int _-pi ^pi sqrt ( sin ^2 (theta) * ( 4 - 3 * sin^2 (theta))) d theta $ $ = int _-pi ^pi sqrt ( sin ^2 (theta) * ( 4 - 3 * sin^2 (theta))) d theta $. Ho poi provato la ...

Buonasera, vi pongo quest'esercizio: $lim_(x->0) (1-(e^x)^2)/(x^3 + sqrtx)$. Ho impostato l'o piccolo del numeratore, che dovrebbe essere $1-(1+x^2 +o(x))$. Il denominatore non so come impostarlo in termini di o piccolo, sapreste darmi gentilmente una mano?

Ciao a tutti, Mi sto preparando all'esame di Analisi 2 e ho un piccolo problema con i cambiamenti di variabile... Stavo facendo un esercizio che richiedeva di trasformare un integrale dato in coordinate polari, vi aggiungo una foto di ciò che ho provato a fare: Ho provato a calcolare gli estremi di integrazione andando a sostituire le coordinate polari alle limitazioni dell'integrale dato e svolgendo i calcoli arrivo a due sistemi, uno dei due è corretto e ...

Determinare massimi e minimi assoluti se esistono di $f(x,y)=2x^2+xy+2y^2$ soggetta ai vincoli $x>0, x^2+2xy=1$ Ho provato con il metodo dei moltiplicatori di lagrange ma viene impossibile il sistema , poi annullando il gradiente ma non ho ottenuto niente anche in quel caso... avete qualche idea?

Ciao ragazzi. Sono rimasto bloccato con lo studio della convergenza di questa serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2$$ Ho provato con il criterio del confronto ma non trovo nulla di buono. Dato che $\arctan(x)\geq\frac{\pi}{4}x$ per ogni x in [0,1] ottengo: $$\begin{array}{l} \left(\frac{1}{n}-\arctan\frac{1}{n}\right)(e^{\frac{1}{n}}-1)n^2\leq ...

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questa serie numerica. \( \sum_{n=1 }^{∞} \frac{n!n^3}{n^n} \) Avevo pensato di risolverla con il criterio del confronto asintotico, ma l'asintotico mi esce \( \frac{n!}{n^n} \) e andando a fare il limite mi esce infinito e non 1. p.s. sono i primi esercizi che faccio qualcuno potrebbe spiegarmi se il confronto che ho utilizzato è giusto o ho fatto qualche errore?

Dopo una spiegazione dell'ottimo utente del forum mi accorgo che non so usare sempre bene le stime asintotiche in particolare il mio dubbio verte sul punto che non capisco quando semplificare o meno una forma, vi porto degli esempi svolti dall'eserciziario sperando un una mano sul capire come usare 1) $arctan(x)/sqrt(1+x^3)~pi/(2x^(3/2))$ per $x->∞$ cioè qui ho proprio sostituito il risultato del limite di arctan all'infinito che fa pi/2 mentre 2) $arctan(1/x) $ [tex]\sim[/tex] ...

Salve ragazzi, ho un dubbio sul metodo per calcolare la derivabilità di una funzione in un punto. Mi spiego: Il metodo corretto dovrebbe essere quello che si rifà alla definizione di derivata e quindi: $ lim_(h-> 0^+-) (f(x+h)-f(x))/h $ In molti esercizi trovo invece: $ lim_(x-> x0)f^I(x0) $ . in ogni caso i due limiti devono coincidere a un valore c perchè la funzione sia derivabile in quel punto. il problema sta principalmente nella pratica. Molte volte il secondo metodo risulta essere più "semplice" del ...

$V={x^2+y^2+z^2<=4 ;z>=1}$ Calcolare $\int int int x^2yz dxdydz$ su $V$ Passando alle coordinate sferiche mi vengono i seguenti intervalli:$0< \theta <2\pi,0<\phi<\pi/3,0<\rho<2$ e quindi l'integrale generale mi viene 0 , non capisco dove sbaglio.

$lim_(n->infty) (4-3e^(1/n))^(3n)$ $lim_(n->infty) (4-3e^(1/n))^(3n) = lim_(n->infty) 3n log (4-3e^(1/n))=... $ ..Impasse totale: non riesco a ricondurre il tutto al "limite neperiano" (fondamentale)!!!

un bicchiere di metallo(senza tappo) ha forma cilindrica. siano r il raggio di base e h l'altezza. se S indica la superficie totale del metallo usato e V il volume totale del bicchiere, trovare fissato V, quale può essere la sua superficie minima. come devo procedere? dove calcolare una derivata? se oltre alla superficie minima voglio calcolare quella massima come devo procedere? grazie a tutti!