Integrale triplo..impostazione corretta?

[21zuclo]

Ciao a tutti, vorrei solo sapere se ho impostato correttamente l'integrale.

$ \int_A \sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz $
$ A=\{(x,y,z)^t\inRR^3| x^2+y^2+z^2\leq 1, z\geq 0, x^2+y^2-z^2\leq 0\} $

allora sono passato direttamente in coordinate sferiche, se ho ben capito è una sfera con dentro un cono, ma devo prendere solo la parte in cui si ha $z\geq 0$

quindi coordinate sferiche $ { ( x=\rho \sin\phi \cos\theta ),( y=\rho \sin\phi \cos\theta),( z=\rho \cos\phi ):} $

ovviamente lo Jacobiano $ Jac=\rho^2\sin\phi $

allora si ha che $ \rho \in [0,1] $

per l'angolo $\theta$ non ho restrizioni, quindi si ha $ \theta \in [0,2\pi] $

per l'altro angolo ho fatto $ \rho \cos\phi\geq 0 $

sostituendo le coordinate sferiche nella disequazione del cono ottengo
$ \rho^2\sin^2\phi \leq rho^2\cos^2\phi \to (sin^2\phi)/(\cos^2\phi)\leq 1 \to \tan\phi \leq 1 $

quindi si ha $ { ( \cos\phi \geq 0 ),( tan\phi \leq 1 ):} \to 0\leq \phi \leq \pi/4 $

in conclusione, riassumendo si ha
$ A'=\{ 0\leq \phi \leq \pi/4, 0\leq \theta\leq 2\pi, \rho \in [0,1]\} $

È tutto corretto?.. poi l'integrale lo calcolo io.. vorrei sapere se l'ho impostato in maniera corretta

Grazie

[Quinzio]

Si, e' corretto.