Dimostrazione: Limite di un valore assoluto

[jarjar2]

Buongiorno,

sto cercando di capire (dimostrare) perché lim x->c |f(x)*g(x)|=0 <=> lim x->c f(x)*g(x)=0
Ma anche semplicemente lim x->c |f(x)|=0 <=> lim x->c f(x)=0

Detto a parole perché se il limite di un valore assoluto va a zero, anche il limite della medesima funzione vada a zero.
Non riesco a trovare una dimostrazione.

VI ringrazio.

[Palliit]

Ciao. Ad esempio, per il teorema del confronto: essendo $-|f(x)|<=f(x)<=+|f(x)|$, se il valore assoluto tende a zero lo fa anche il suo argomento.

[jarjar2]

Grazie mille, mi hai risolto un grande dubbio.
Sono proprio stupido!

[gugo82]

Beh, non mi pare ci voglia la zingara per intuire che:
\[
\Big| |f(x)|\Big| <\varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad |f(x)| < \varepsilon
\]
dunque la definizione di limite che vale per $f(x)$ vale ugualmente per $|f(x)|$.

[anto_zoolander]

O anche $|f(x)|=| |f(x)| |,forallx in dom(f)$