Analisi 1
come si risolve questo esercizio?
grazie in anticipo
supposto che per $x in [2,4]$ sia: $ 1 <= f’’ (x) <= 2$, $ f’ (2) =-1$ e $ f(2) =3$ dire se:
1) $ f (3) <= 6 $
2) $ f (3) <= 3 $
3) $ f (3) <= 4 $
4) $ f (4) <= 5 $
5) nessuna delle precedenti
grazie in anticipo
supposto che per $x in [2,4]$ sia: $ 1 <= f’’ (x) <= 2$, $ f’ (2) =-1$ e $ f(2) =3$ dire se:
1) $ f (3) <= 6 $
2) $ f (3) <= 3 $
3) $ f (3) <= 4 $
4) $ f (4) <= 5 $
5) nessuna delle precedenti
Risposte
Tentativi tuoi?
ciao l'altro esercizio mi è chiaro
su questo invece vorrei confrontarmi
la derivata seconda varia tra 1 e 2 nell'intervallo $[2;4]$?
su questo invece vorrei confrontarmi
la derivata seconda varia tra 1 e 2 nell'intervallo $[2;4]$?
si
Ciao Cri
ho fatto un po' di ragionamenti riguardo le informazioni che abbiamo e volevo condividerle con te
Noi sappiamo che la derivata prima vale -1 in corrispondenza dell'estremo sinistro del nostro intervallo, poi sappiamo che la derivata seconda varia in quell'intervallo tra 1 e 2
La mia idea era di vedere cosa succede se la derivata seconda è sempre 1
e confrontarlo con quello che succede se la derivata seconda è sempre 2
Cosa ne dici?
ho fatto un po' di ragionamenti riguardo le informazioni che abbiamo e volevo condividerle con te
Noi sappiamo che la derivata prima vale -1 in corrispondenza dell'estremo sinistro del nostro intervallo, poi sappiamo che la derivata seconda varia in quell'intervallo tra 1 e 2
La mia idea era di vedere cosa succede se la derivata seconda è sempre 1
e confrontarlo con quello che succede se la derivata seconda è sempre 2
Cosa ne dici?
Mi sa che cri98 ha perso interesse
a me però rimane la curiosità
punterei su $f(3)<=3$
mi piacerebbe confrontarmi con qualcuno
a me però rimane la curiosità
punterei su $f(3)<=3$
mi piacerebbe confrontarmi con qualcuno
Io ho provato così, ma non ne sono tanto sicuro
$\frac{f'(x)-f'(2)}{x-2}=f''(c)<=2$ per qualche $c in [2,x]$ per ogni chiarimento $x in [2,4]$, cioè $f'(x)<=2(x-2)-1<=3$. Quindi $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(k)<=5$ per qualche $k in [2,x]$ e per ogni $x in [2,4]$ cioè $f(x)<=3(x-2)+3$ cioè $f(3)<=6$
$\frac{f'(x)-f'(2)}{x-2}=f''(c)<=2$ per qualche $c in [2,x]$ per ogni chiarimento $x in [2,4]$, cioè $f'(x)<=2(x-2)-1<=3$. Quindi $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(k)<=5$ per qualche $k in [2,x]$ e per ogni $x in [2,4]$ cioè $f(x)<=3(x-2)+3$ cioè $f(3)<=6$
Ragiono molto alla buona, dato che non sono chiare le ipotesi poste su $f$...
Per formula di Taylor al primo ordine col resto di Lagrange, dato che \( 1\leq f^{\prime \prime}(x) \leq 2\) per $x in [2,4]$, valgono le disuguaglianze:
\[
f(2) + f^\prime (2) (x-2) + \frac{1}{2} (x-2)^2\leq f(x) \leq f(2) + f^\prime (2) (x-2) + (x-2)^2
\]
ossia:
\[
7 - 3x + \frac{1}{2} x^2 \leq f(x) \leq 9 - 5x + x^2
\]
per ogni $x in [2,4]$. Conseguentemente risulta:
\[
\begin{split}
\frac{5}{2} \leq &f(3) \leq 3 \\
3 \leq &f(4) \leq 5
\end{split}
\]
quindi, a spanne, le alternative proposte mi paiono tutte corrette.
Un disegno aiuta a comprendere.
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax =5;
axes("", "");
stroke="red";
plot("7-3x+0.5x^2",0,5);
stroke="dodgerblue";
plot("9-5x+x^2",0,5);
strokewidth=2;
stroke="orange";
dot([3,2.5]); dot([3,3]); line([3,2.5],[3,3]);
stroke="magenta";
dot([4,3]); dot([4,5]); line([4,3],[4,5]);[/asvg]
Per formula di Taylor al primo ordine col resto di Lagrange, dato che \( 1\leq f^{\prime \prime}(x) \leq 2\) per $x in [2,4]$, valgono le disuguaglianze:
\[
f(2) + f^\prime (2) (x-2) + \frac{1}{2} (x-2)^2\leq f(x) \leq f(2) + f^\prime (2) (x-2) + (x-2)^2
\]
ossia:
\[
7 - 3x + \frac{1}{2} x^2 \leq f(x) \leq 9 - 5x + x^2
\]
per ogni $x in [2,4]$. Conseguentemente risulta:
\[
\begin{split}
\frac{5}{2} \leq &f(3) \leq 3 \\
3 \leq &f(4) \leq 5
\end{split}
\]
quindi, a spanne, le alternative proposte mi paiono tutte corrette.
Un disegno aiuta a comprendere.
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax =5;
axes("", "");
stroke="red";
plot("7-3x+0.5x^2",0,5);
stroke="dodgerblue";
plot("9-5x+x^2",0,5);
strokewidth=2;
stroke="orange";
dot([3,2.5]); dot([3,3]); line([3,2.5],[3,3]);
stroke="magenta";
dot([4,3]); dot([4,5]); line([4,3],[4,5]);[/asvg]
Si potrebbe integrare le disuguaglianze tra $2$ e $x$ per vedere che informazioni si riesce a dedurre.
"otta96":
Si potrebbe integrare le disuguaglianze tra $2$ e $x$ per vedere che informazioni si riesce a dedurre.
Le stesse ottenute con la formula di Taylor col resto di Lagrange... Provare per credere!
"gugo82":
Ragiono molto alla buona, dato che non sono chiare le ipotesi poste su $f$...
Per formula di Taylor al primo ordine col resto di Lagrange, dato che \( 1\leq f^{\prime \prime}(x) \leq 2\) per $x in [2,4]$, valgono le disuguaglianze:
\[
f(2) + f^\prime (2) (x-2) + \frac{1}{2} (x-2)^2\leq f(x) \leq f(2) + f^\prime (2) (x-2) + (x-2)^2
\]
ossia:
\[
7 - 3x + \frac{1}{2} x^2 \leq f(x) \leq 9 - 5x + x^2
\]
per ogni $x in [2,4]$. Conseguentemente risulta:
\[
\begin{split}
\frac{5}{2} \leq &f(3) \leq 3 \\
3 \leq &f(4) \leq 5
\end{split}
\]
quindi, a spanne, le alternative proposte mi paiono tutte corrette.
Un disegno aiuta a comprendere.
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax =5;
axes("", "");
stroke="red";
plot("7-3x+0.5x^2",0,5);
stroke="dodgerblue";
plot("9-5x+x^2",0,5);
strokewidth=2;
stroke="orange";
dot([3,2.5]); dot([3,3]); line([3,2.5],[3,3]);
stroke="magenta";
dot([4,3]); dot([4,5]); line([4,3],[4,5]);[/asvg]
ciao gugo 82
non mi è chiaro quale è la risposta giusta (1) (2) (3) (4) o (5)?
@cri88:
Quale parte di questa frase non ti è chiara?
Quale parte di questa frase non ti è chiara?
"gugo82":
Conseguentemente risulta:
\[
\begin{split}
\frac{5}{2} \leq &f(3) \leq 3 \\
3 \leq &f(4) \leq 5
\end{split}
\]
quindi, a spanne, le alternative proposte mi paiono tutte corrette.
come fanno ad essere tutte corrette se è prevista solo una risposta esatta?
A volte chi compila le prove non le rivede con la dovuta attenzione...
E' un compito che fai sulla carta e consegni o lo fai al computer cliccando sull'opzione?
Se scrivi sulla carta puoi mettere il commento e spiegare la tua idea, se devi solo cliccare un'opzione no.
Recentemente ho fatto una prova adattiva di inglese al computer e l'ho trovata molto stressante
E' un compito che fai sulla carta e consegni o lo fai al computer cliccando sull'opzione?
Se scrivi sulla carta puoi mettere il commento e spiegare la tua idea, se devi solo cliccare un'opzione no.
Recentemente ho fatto una prova adattiva di inglese al computer e l'ho trovata molto stressante
è un compito su carta nel quale si deve scegliere una sola risposta.
non è possibile inserire commenti in quanto comporta l'annullamento della prova
non è possibile inserire commenti in quanto comporta l'annullamento della prova
E quindi noi cosa dovremmo farci?
Fai presente la cosa al tuo docente: il ricevimento studenti esiste per questo.
Fai presente la cosa al tuo docente: il ricevimento studenti esiste per questo.
"gugo82":
E quindi noi cosa dovremmo farci?
Fai presente la cosa al tuo docente: il ricevimento studenti esiste per questo.
perfetto grazie lo farò presente
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