Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Buondì, per una volta la domanda che mi pongo non viene da un esercizio ma da una riflessione su cui avrei bisogno di un parere.
Dunque, partendo dalle condizioni di esistenza di un limite in due variabili, ho il concetto dell'uguaglianza dei limiti delle varie restrizioni, cioè che il limite non deve cambiare valore quando sostituisco a una variabile curve qualsiasi scritte in funzione dell'altra variabile.
Il dubbio che ho è: e se invece io ragionassi in termini "direzionali", e ...
Buongiorno, perdonate la domanda sciocca
Perché
$(1+x^2/(2!)+x^4/(4!)+o(x^4))^2 = (1+x^2+x^4/3+o(x^4))$ ???
Grazie per l'aiuto!!
Salve ragazzi. Ho iniziato da pochissimo i limiti e sto facendo esercizi su vari libri. In particolare c'è un libro, principalmente di teoria, che non motiva le risoluzioni degli esercizi e quindi non sto capendo come svolgere questo limite:
$lim_(x -> 0) \frac{root(3)(1+x)-1}{x}$.
Ovviamente ho provato in vari modi. Il problema è quella radice cubica, che non riesco a far sparire in alcun modo. Poi anche raccogliendo la x non mi viene nulla. Non mi vengono in mente possibili prodotti notevoli...
Ogni cosa che ...
Salve a tutti !!
Sto studiando i numeri complessi e mi sono imbattuto sul calcolo dell'argomento nella forma trigonometrica..
Se espresso nell'intervallo \(\displaystyle (-\pi, +\pi] \) :
se a0 (secondo quadrante)-> aggiungo \(\displaystyle \pi \)
se a sottraggo \(\displaystyle \pi \)
non capisco perchè in un caso aggiungo e nell'altro sottraggo \(\displaystyle \pi \) ???
Buonasera, ho qui un esercizio su cui ho un solo dubbio:
Data $f(x,y)=(xy)/sqrt(4+x^2)$
e la curva $gamma$ identificata come il bordo di $E$:
$gamma=partialE={(x,y): x>=0;x^2+y^2>=1;0<=y<=1-x^2/4}$
calcolare $int_gammaf(x,y)ds$
Ho separato $gamma$ in tre parti (seguendo le condizioni imposte da $E$):
$gamma_1$) l'asse x $ { ( x=t ),( y=0 ):}$
$gamma_2$) la circonferenza centrata nell'origine di raggio 1 $ { ( x=cost ),( y=sint ):}$
$gamma_3$) la funzione $ { ( x=t ),( y=1-t^2/4 ):}$
E ...
Salve, sto studiando la distribuzione normale di gauss. La larghezza del picco alla base è 4 $\sigma$ e questo valore si dovrebbe ricavare dall'interzione delle tangenti nei punti di flesso ($\mu \pm \sigma$) e l'asse delle ascisse. In problema è che vorrei ricavarmi questo valore matematicamente, magari sfruttando la proprietà della similitudine tra triangoli. In pratica vorrei costruire il triangolo che ha per vertice il punto di incontro tra le due tangenti e ricavare che quel ...
Salve, devo svolgere il seguente esercizio:
Ho la successione di funzioni:
$ f(x,y)={(2^-n,if x in [2^-n,2^(-n+1)) ),(text{0},if x in [-prop ,2^-n) U [2^(-n+1),+prop )):} $
1) Stabilire se la serie $ sum_{n=1}^\infty\f_n $ converga puntualmente/uniformemente
2)Denotando $s(x)$ la somma della serie $ sum_{n=1}^\infty\f_n(x) $ si calcoli l'integrale:
$ int_(0)^(1) s(x) dx $
Nel primo punto ho calcolato le somme parziali e poi arrivo ad $s_n(x)$:
$ s_n(x)={(1/2^n,if x in [1/2^n,1) ),(text{0}, text{altrimenti} ):} $
Calcolo quindi: $ lim_(n -> prop ) s_n(x)=s(x)=0 $ $forallx$
Convergenza uniforme:
$ || S_n-s || _prop ,_R=text<sup>|1/2^n|=0 $ ...
Affrontando la questione della misurabilità mi trovo ad affrontare la sua definizione secondo Carathéodory, la quale afferma il seguente:
Sia $\lambda^\star$ la misura esterna di Lebesgue e $E \subseteq \mathbb{R}^n $ allora E è Lebesgue-misurabile $\iff \forall A \subseteq \mathbb{R}^n$ $\lambda^\star(A) = \lambda^\star(A\capE) + \lambda^\star(A\capE^c)$
Sono alla ricerca di un modo di trovare una associazione intuitiva per questa definizione di misurabilità cosicché non rimanga solo una formula imparata a memoria da scordare appena passato l'esame.
Da alcune parti ho ...
Buongiorno a tutti! Ho difficoltà a comprendere alcuni concetti che ci sono dietro gli integrali impropri. Se io avessi un integrale del tipo $int_(1)^(+infty) (logx/x)$ direi che converge perchè a $+infty$ logx è un o-piccolo di x.. mentre lo stesso criterio lo adotterei anche in $0$ affermando però che in $0$ diverge. E' esatto? Grazie anticipatamente per la risposta.
Salve,
devo dimostrare la continuità della seguente funzione:
$$f:x \in S \rightarrow min\left\{\frac{(Ax)_i}{x_i}:x_i \neq 0 \right\}$$
dove $S \subset R^n$ contiene tutti i vettori (non nullo) a termini non negativi e $A$ è una matrice di quadrata di ordine $n$ e il minimo è su $i=1,...,n$. Come potrei fare?
Grazie a chi presterà un po' di attenzione.
Buondì, avrei bisogno di una conferma/chiarimento riguardo alle curve rettificabili.
Io so che una curva è rettificabile se l'estremo superiore delle lunghezze della poligonale è finito. Però siccome la curva in questione è regolare per requisito, il suo vettore tangente è sempre definito e quindi questo estremo superiore corrisponde alla lunghezza della curva stessa (integrando da inizio a fine).
La mia domanda sarebbe: come verifico che una curva sia rettificabile?
La mia risposta (che ha ...
Ciao!
Mi chiedevo quanto fosse vera la mia seguente affermazione:
sia $f:A->RR$ con $AsubseteqRR^2$ un insieme compatto e $f$ differenziabile.
se $nablaf(x,y)ne0,forall(x,y) in A$ allora per weierstrass esistendo massimi e minimi assoluti essi si troveranno sul bordo $partialA$.
supponiamo che esistano un intervallo $J$ e una funzione $varphi:J->partialA$ suriettiva e che la funzione $fcirc varphi:J->partialA->RR$ abbia un punto di massimo assoluto, ovvero esiste ...
Buongiorno vorrei capire come risolvere la seguente equazione:
$$\int_{t=0}^{\arccos(R/(2r))}(\sqrt(r^2 - R^2sint^2) - R\cos(t) + r)dt =\pi*r^2/4$$
Credo che per semplificare i calcoli sia lecito porre $r=1$, dato che è una costante come lo è R, che però è l' incognita.
La mia prima difficoltà sta nel calcolare l' integrale indefinito, estratto dalla decomposizione:
$\int\sqrt(r^2 - R^2\sint^2)dt$
Qui potrei procedere riscrivendolo cosi?
$\int(1 - R^2\sint^2)^(1/2)dt$
Come ...
Ciao,sto studiando i teoremi sulle funzione continue (Weierstrass,Bolzano etc.).In ognugno di questi teoremi ,strettamente correlati tra loro,si considera una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. Volevo chiedervi conferma su questo:una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato quando è continua in tutti i punti interni all'intervallo e quando nell'estremo sinistro è continua da destra ($lim x->a+ f(x)=f(a)$) e nell'estremo destro continua da sinistra.E' corretto o è ...
Buongiorno!
Situazione un po' strana, sto studiando all'estero e mi sono imbattuto in un esercizio per il quale non riesco a trovare soluzione.
Mi si chiede di trovare la serie di fourier della funzione $ f(x)=x^2 $ con $ x in [-pi;pi] $ e quindi di calcolare, utilizzando la serie trovata, la somma delle seguenti serie $ sum_(n = 1) ^(oo) 1/n^2 $ e $ sum_(n = 1) ^(oo) (-1)^(n+1)/n^2 $
Ora, so come arrivare alla serie trigonometrica ma come diamine trovo le somme delle serie? Ho cercato negli appunti e online non ...
Ciao a tutti, mi chiedo se valga in $RR$ questa giustificazione per la disuguaglianza triangolare: \[\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\le |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y) \] ottenuta semplicemente sommando e sottraendo $z$? Devo dimostrare che $RR$ dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico, e questa è l'unica proprietà non immediatamente ovvia dalla definizione di valore assoluto...
Ciao a tutti, riporto il testo dell'esercizio in inglese (sono diventato troppo pigro per tradurre):
Let $X$ be the set of all ordered triples of zeros and ones. Show that $X$ consists of eight elements and a metric $d$ on $X$ is defined by \(\displaystyle d(x, y) = \text{number of places where x and y have different entries} \).
Sequenze ripetute di due elementi da tre si calcolano dalla combinatoria elementare come $2^3=8$. ...
Find all metrics on a set $X$ consisting of two points, and consisting of one point.
Questa domanda mi sta facendo grattare un po' la testa. Per la prima, la prima cosa che viene in mente è l'analogo della metrica discreta, in una versione leggermente più generale: considero una distanza che resistuisca un numero $0$ nel caso in cui prenda i due punti uguali, e un altro numero $m>0$ quando prendo quelli diversi (non sono costretto a scegliere l'uno, ...
salve ho questa serie $ sum_(n = \1) ^oo [sin(sinn)]^n $ . dal criterio di convergenza può divergere o convergere. inizialmente avevo pensato al metodo della radile ma non una successione di numeri positivi ma alterni perchè $-1<sinn<1$.
per cui ho semplicemente ragionato sul limite notevole ovvero $ lim_(n -> oo) sinn/n=0 $ per cui applicando due volte ottengo $0^n$ ovvero $0$ essendo $0<1$sempre la serie data converge sempre. Non so se sia giusta tale ragionamento e se ...
Salve gente, ultimamente mi sto "affacciando" alla parte del mio programma di Analisi II circa la teoria delle misure e non nascondo che mi sto trovando veramente in difficoltà a dare un senso a diversi concetti, vista la scarsa intuitività della disciplina. Senza perdere ulteriore tempo, ho nel programma la dimostrazione del fatto che la misura esterna di Lebesgue goda della proprietà citata nel titolo. Aperti gli appunti presi a lezione, li ho immediatamente richiusi perché le spiegazioni del ...
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