Numeri Complesso in forma trigonometrica : calcolo Argomento
Salve a tutti !!
Sto studiando i numeri complessi e mi sono imbattuto sul calcolo dell'argomento nella forma trigonometrica..
Se espresso nell'intervallo \(\displaystyle (-\pi, +\pi] \) :
se a<0 e b>0 (secondo quadrante)-> aggiungo \(\displaystyle \pi \)
se a<0 e b< 0 (terzo quadrante)-> sottraggo \(\displaystyle \pi \)
non capisco perchè in un caso aggiungo e nell'altro sottraggo \(\displaystyle \pi \) ???
Sto studiando i numeri complessi e mi sono imbattuto sul calcolo dell'argomento nella forma trigonometrica..
Se espresso nell'intervallo \(\displaystyle (-\pi, +\pi] \) :
se a<0 e b>0 (secondo quadrante)-> aggiungo \(\displaystyle \pi \)
se a<0 e b< 0 (terzo quadrante)-> sottraggo \(\displaystyle \pi \)
non capisco perchè in un caso aggiungo e nell'altro sottraggo \(\displaystyle \pi \) ???
Risposte
Aggiunto o sottratto a cosa? Come calcoli l'argomento?
Vediamo se ho capito: l'intento consiste nell'esprimere un numero complesso $z=a+ib$ in forma trigonometrica, vale a dire nella forma $z=r(\cos(t)+i\sin(t))$ dove $r\in [0,+\infty)$ e $t\in (-\pi, \pi]$.
Se osservi attentamente la forma trigonometrica, essa non è altro che una rielaborazione della forma cartesiana in termini di $r$ e $t$, infatti puoi riscriverla come
$z= r\cos(t)+i r\sin(t)$
Da questa relazione si capisce che la parte reale e la parte immaginaria di z valgono rispettivamente
$a=r\cos(t)$ e $b=r\sin(t)$
Grazie alle due uguaglianze siamo in grado di esprimere $r$ e $t$ in termini di $a$ e $b$. Per determinare l'espressione con cui calcoliamo il modulo $r$ è sufficiente osservare quanto segue:
$a^2+b^2=r^2\cos^2(t)+r^2\sin^2(t)=r^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))$
da cui $a^2+b^2=r^2$, vale a dire $r=\sqrt{a^2+b^2}$
Per calcolare $t$ sfruttando le relazioni $a=r\cos(t)$ e $b=r\sin(t)$, basta notare che il rapporto $b/a$ coincide con $\sin(t)/\cos(t)$, in altri termini, l'argomento (principale) di un numero complesso è (l'unica) soluzione dell'equazione goniometrica:
$\tan(t)=\frac{b}{a}$
vincolata dalla condizione $t\in (-\pi, \pi]$. Se sei nel primo o nel quarto quadrante (ovvero $a>0$ e $b>0$ oppure se $a>0$ e $b<0$), puoi risolvere tranquillamente l'equazione applicando ai due membri l'arcotangente: ciò è dovuto al fatto che se siamo nel primo o nel quarto quadrante, l'argomento ricade nell'intervallo $(-\pi/2, \pi/2)$, nel quale la tangente è invertibile e la sua inversa è proprio l'arcotangente:
$t=\arctan(b/a)$ se $a>0$
Se invece siamo nel secondo quadrante, o meglio se $t\in (\pi/2, \pi)$, l'equazione $\tan(t)=b/a$ diventa più delicata da risolvere, perché l'inversa della tangente nell'intervallo non è l'arcotangente (bensì una traslazione di quest'ultima).
Idea! Sfruttiamo le identità trigonometriche che permettono di ridurci all'intervallo di invertibilità della tangente e che non modificano in alcun modo l'aspetto dell'equazione.
Sapendo che $\tan(t)=\tan(t-\pi)$, l'equazione l'equazione $\tan(t)=b/a$ si può esprimere come $\tan(t-\pi)=b/a$ e poiché $t\in (\pi/2, \pi)$ allora $t-\pi\in (-\pi/2, 0)$, intervallo in cui l'inversa della tangente è l'arcotangente, di conseguenza
$\tan(t)=b/a \implies \tan(t-\pi)=b/a \implies t-\pi=\arctan(b/a)\implies t=\pi+\arctan(b/a)$
E se siamo nel terzo quadrante? Beh, in questo caso puoi sfruttare la relazione goniometrica $\tan(t+\pi)=\tan(t)$ e portare a casa il risultato.
[Scusami, probabilmente non è chiarissimo, io per non confondermi, mi aiuto con i disegnini].
Se osservi attentamente la forma trigonometrica, essa non è altro che una rielaborazione della forma cartesiana in termini di $r$ e $t$, infatti puoi riscriverla come
$z= r\cos(t)+i r\sin(t)$
Da questa relazione si capisce che la parte reale e la parte immaginaria di z valgono rispettivamente
$a=r\cos(t)$ e $b=r\sin(t)$
Grazie alle due uguaglianze siamo in grado di esprimere $r$ e $t$ in termini di $a$ e $b$. Per determinare l'espressione con cui calcoliamo il modulo $r$ è sufficiente osservare quanto segue:
$a^2+b^2=r^2\cos^2(t)+r^2\sin^2(t)=r^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))$
da cui $a^2+b^2=r^2$, vale a dire $r=\sqrt{a^2+b^2}$
Per calcolare $t$ sfruttando le relazioni $a=r\cos(t)$ e $b=r\sin(t)$, basta notare che il rapporto $b/a$ coincide con $\sin(t)/\cos(t)$, in altri termini, l'argomento (principale) di un numero complesso è (l'unica) soluzione dell'equazione goniometrica:
$\tan(t)=\frac{b}{a}$
vincolata dalla condizione $t\in (-\pi, \pi]$. Se sei nel primo o nel quarto quadrante (ovvero $a>0$ e $b>0$ oppure se $a>0$ e $b<0$), puoi risolvere tranquillamente l'equazione applicando ai due membri l'arcotangente: ciò è dovuto al fatto che se siamo nel primo o nel quarto quadrante, l'argomento ricade nell'intervallo $(-\pi/2, \pi/2)$, nel quale la tangente è invertibile e la sua inversa è proprio l'arcotangente:
$t=\arctan(b/a)$ se $a>0$
Se invece siamo nel secondo quadrante, o meglio se $t\in (\pi/2, \pi)$, l'equazione $\tan(t)=b/a$ diventa più delicata da risolvere, perché l'inversa della tangente nell'intervallo non è l'arcotangente (bensì una traslazione di quest'ultima).
Idea! Sfruttiamo le identità trigonometriche che permettono di ridurci all'intervallo di invertibilità della tangente e che non modificano in alcun modo l'aspetto dell'equazione.
Sapendo che $\tan(t)=\tan(t-\pi)$, l'equazione l'equazione $\tan(t)=b/a$ si può esprimere come $\tan(t-\pi)=b/a$ e poiché $t\in (\pi/2, \pi)$ allora $t-\pi\in (-\pi/2, 0)$, intervallo in cui l'inversa della tangente è l'arcotangente, di conseguenza
$\tan(t)=b/a \implies \tan(t-\pi)=b/a \implies t-\pi=\arctan(b/a)\implies t=\pi+\arctan(b/a)$
E se siamo nel terzo quadrante? Beh, in questo caso puoi sfruttare la relazione goniometrica $\tan(t+\pi)=\tan(t)$ e portare a casa il risultato.
[Scusami, probabilmente non è chiarissimo, io per non confondermi, mi aiuto con i disegnini].
Ciao e grazie(mi scuso se non era chiara la domanda), si @Mathita hai esattamente capito il mio dilemma...
Il punto che non mi è chiaro, è che se sono nel 2 quadrante (\(\displaystyle \pi/2, \pi\))
è lecito usare l'identita \(\displaystyle \tan(\theta) = \tan(\theta+\pi)\) ?? Cosi l'intervallo diventa (\(\displaystyle 3/2\pi, 2\pi\)) che rappresenta il 4 quadrante dove l'inverso della tangente è definito.
Adesso non mi resta che risolvere
\(\displaystyle \tan(\theta+\pi)\ = b/a\)
Mi risulta : \(\displaystyle \theta = \arctan(b/a) -\pi \)
Dove sbaglio ?
\(\displaystyle \)
Il punto che non mi è chiaro, è che se sono nel 2 quadrante (\(\displaystyle \pi/2, \pi\))
è lecito usare l'identita \(\displaystyle \tan(\theta) = \tan(\theta+\pi)\) ?? Cosi l'intervallo diventa (\(\displaystyle 3/2\pi, 2\pi\)) che rappresenta il 4 quadrante dove l'inverso della tangente è definito.
Adesso non mi resta che risolvere
\(\displaystyle \tan(\theta+\pi)\ = b/a\)
Mi risulta : \(\displaystyle \theta = \arctan(b/a) -\pi \)
Dove sbaglio ?
\(\displaystyle \)
Non capisco dove stia il problema ...
Se conosci $a$ e $b$ puoi ricavare la tangente $b/a$ dell'argomento.
Se vuoi sapere a quale angolo corrisponde o lo sai a memoria (in pratica pochi angoli notevoli e comunque in questo caso sarebbe meglio partire dal seno o dal coseno) o usi la calcolatrice, la quale ti darà un valore presumibilmente compreso tra $-pi/2$ e $pi/2$ (qualcuna potrebbe dartelo fra $0$ e $pi$, basta verificare preventivamente).
Dal segno di $a$ e $b$ sai in quale quadrante deve trovarsi il tuo angolo e quindi puoi decidere immediatamente se ti va bene la risposta ottenuta oppure devi aggiungere $pi$
IMHO
Cordialmente, Alex
Se conosci $a$ e $b$ puoi ricavare la tangente $b/a$ dell'argomento.
Se vuoi sapere a quale angolo corrisponde o lo sai a memoria (in pratica pochi angoli notevoli e comunque in questo caso sarebbe meglio partire dal seno o dal coseno) o usi la calcolatrice, la quale ti darà un valore presumibilmente compreso tra $-pi/2$ e $pi/2$ (qualcuna potrebbe dartelo fra $0$ e $pi$, basta verificare preventivamente).
Dal segno di $a$ e $b$ sai in quale quadrante deve trovarsi il tuo angolo e quindi puoi decidere immediatamente se ti va bene la risposta ottenuta oppure devi aggiungere $pi$
IMHO
Cordialmente, Alex
Scusate, ma cosa ha che non va il sistema:
\[
\begin{cases}
\cos \theta = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} \\
\sin \theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}
\end{cases} \; ?
\]
\[
\begin{cases}
\cos \theta = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} \\
\sin \theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}
\end{cases} \; ?
\]
"EdgarVillier":
Ciao e grazie(mi scuso se non era chiara la domanda), si @Mathita hai esattamente capito il mio dilemma...
Il punto che non mi è chiaro, è che se sono nel 2 quadrante (\(\displaystyle \pi/2, \pi\))
è lecito usare l'identita \(\displaystyle \tan(\theta) = \tan(\theta+\pi)\) ?? Cosi l'intervallo diventa (\(\displaystyle 3/2\pi, 2\pi\)) che rappresenta il 4 quadrante dove l'inverso della tangente è definito.
Adesso non mi resta che risolvere
\(\displaystyle \tan(\theta+\pi)\ = b/a\)
Mi risulta : \(\displaystyle \theta = \arctan(b/a) -\pi \)
Dove sbaglio ?
\(\displaystyle \)
Tento di fornirti una spiegazione migliore, però ci sono alcune cose che devi conoscere.
1. La tangente è una funzione periodica di periodo $T=\pi$, ciò vuol dire che per ogni $t\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$ e per ogni $k\in\mathbb{Z}$ sussiste l'identità
$\tan(t)=\tan(t+k\pi)$
2. L'arcotangente è la funzione inversa della tangente nell'intervallo $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, ciò implica che
$\tan(t)=x\iff t=\arctan(x)$
con $t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ e $x\in\mathbb{R}$ (è la definizione di arcotangente).
3. La tangente è una funzione invertibile su ogni intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$ al variare di $k\in\mathbb{Z}$ e la sua inversa coincide con la funzione arcotangente se e solo se $k=0$. Per tutti gli altri $k$ (e dunque per gli altri intervalli di invertibilità), la sua inversa non coincide con l'arcotangente (bensì con una sua traslata).
4. (facoltativo) La tangente è una funzione invertibile su ogni intervallo di ampiezza $\pi$ (esclusi i punti in cui non è definita) e la sua inversa fa... schifo (è una funzione definita a tratti).
Il nostro problema di fondo è questo: vogliamo determinare l'argomento $t$ di un numero complesso $z$ in modo che ricada nell'intervallo $(-\pi,\pi]$ (perché così vuole il tuo professore). Il calcolo dell'argomento ci "costringe" (non è vero, vedasi commento di gugo82) a impostare l'equazione goniometrica
$\tan(t)=\frac{b}{a}$
dove $t$ deve sottostare al vincolo $-\pi
Se $a>0$ (cioè se siamo nel primo o quarto quadrante) siamo felicissimi perché l'argomento del numero complesso $z=a+ib$ deve necessariamente essere un angolo compreso tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, quindi siamo nell'intervallo in cui l'inversa della tangente è proprio l'arcotangente, dunque la soluzione dell'equazione è
$t=\arctan(b/a)$
Se $a=0$, l'equazione non ha senso, quindi l'argomento con altre relazioni, in particolare:
- se $b>0$ siamo sull'asse delle ordinate positive, l'argomento è quindi $t=\frac{\pi}{2}$;
- se $b<0$ siamo sull'asse delle ordinate negative, l'argomento è quindi $t=-\frac{\pi}{2}$;
- se $b=0$ siamo nell'origine, in questo caso l'argomento non è definito.
Se $a<0$, succedono "casini". Distinguiamo i seguenti casi:
- se $b>0$ siamo nel secondo quadrante, dunque $t\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$. Diamine, siamo fuori dall'intervallo di invertibilità della tangente sul quale l'inversa coincide con l'arcotangente! Che fare? Ci facciamo furbi: sfruttiamo a nostro vantaggio la periodicità della tangente!
Obiettivo: usare le formule goniometriche così:
- da ricavare un'equazione goniometrica equivalente a $\tan(t)=b/a$;
- che l'argomento della tangente vari nell'intervallo $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ perché è quello "figo".
Se $t\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ allora $t-\pi\in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ il quale è un intervallo contenuto nell'insieme "figo", e sul quale l'inversa della tangente coincide con l'arcotangente. Inoltre come se non bastasse, la periodicità della tangente garantisce l'uguaglianza
$\tan(t)=\tan(t-\pi)$
con la quale riusciamo a riscrivere l'equazione nella forma
$\tan(t-\pi)=b/a\implies t-\pi=\arctan(b/a)\implies t=\pi+\arctan(b/a)$
Figo no?
Consideriamo infine l'ultimo caso: se $a<0$ e $b<0$, ossia siamo nel terzo quadrante, dunque $t\in\left(-\pi, -\pi/2\right)$ [nota che proprio perché il tuo prof lavora nell'intervallo $(-\pi,\pi]$, non devi/puoi ragionare nell'intervallo $[0,2\pi)$, ti confondi solo le idee all'inizio, poi l'esperienza farà il resto].
Purtroppo $\left(-\pi, -\pi/2\right)$ non è l'intervallo figo (l'inversa della tangente non è l'arcotangente), cosa facciamo? Sfruttiamo la periodicità! Considereremo questa volta l'uguaglianza
$\tan(t)=\tan(t+\pi)$
perché se $t\in (-\pi, -\pi/2)$ allora $t+\pi\in (0,\pi/2)$, intervallo su cui l'inversa della tangente è proprio l'arcotangente. Tutte queste osservazioni consentono di esprimere le seguenti implicazioni
$\tan(t)=b/a\implies\tan(t+\pi)=b/a\implies t+\pi=\arctan(b/a)\implies t=-\pi+\arctan(b/a)$.
Penso di aver finito (in realtà no, mancano i casi relativi a $b=0$, ma sono ovvi
).
"gugo82":
Scusate, ma cosa ha che non va il sistema:
\[
\begin{cases}
\cos \theta = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} \\
\sin \theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}
\end{cases} \; ?
\]
Niente!
Più che altro è un sistema "situazionale" (questo lo sai meglio di me). Nel momento in cui il seno dell'angolo non è noto (e di conseguenza il coseno dell'angolo), siamo costretti a passare all'equazione con la tangente, passaggio che però ci fa perdere di vista i segni della parte reale e parte immaginaria.Il problema di fondo qui è che il professore del richiedente ha fissato come intervallo di variazione dell'argomento principale $(-\pi, \pi]$ e probabilmente non vuole che i propri studenti escano dal "seminato".
"Mathita":
[quote="gugo82"]Scusate, ma cosa ha che non va il sistema:
\[
\begin{cases}
\cos \theta = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} \\
\sin \theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}
\end{cases} \; ?
\]
Niente!
Più che altro è un sistema "situazionale" (questo lo sai meglio di me). Nel momento in cui il seno dell'angolo non è noto (e di conseguenza il coseno dell'angolo), siamo costretti a passare all'equazione con la tangente [...][/quote]Il che presenta la stessa difficoltà, dato che non mi vengono in mente angoli elementari dei quali è nota la tangente ma non sono noti seno e coseno.
"Mathita":
[...] passaggio che però ci fa perdere di vista i segni della parte reale e parte immaginaria.
Già.
E per questo andrebbe evitato come la peste.
"Mathita":
Il problema di fondo qui è che il professore del richiedente ha fissato come intervallo di variazione dell'argomento principale $(-\pi, \pi]$ e probabilmente non vuole che i propri studenti escano dal "seminato".
Probabilmente, perché il docente ha visto (in anni di esperienza) che gli studenti, usando l'arcotangente sbagliavano sempre la fase o perdevano di vista l'interpretazione grafica del sistema (che aiuta a risolvere il problema più della "regoletta dell'arcotangente" imparata a memoria).
P.S.: "Situazionale"?
@gugo82
Difatti lo preferisco
@Mathita
Capisco il tuo desiderio di essere il più possibile preciso ma cosa c'è che non va in quello che ho scritto io?
È un metodo troppo breve?
Cordialmente, Alex
Difatti lo preferisco
@Mathita
Capisco il tuo desiderio di essere il più possibile preciso ma cosa c'è che non va in quello che ho scritto io?
È un metodo troppo breve?
Cordialmente, Alex
@axpgn, non c'è nulla che non vada nella tua risposta. Ho semplicemente risposto alla domanda dell'utente, spiegando (tentando di spiegare) perché si aggiunge e si sottrae $\pi$. Sia chiaro, per il calcolo dell'argomento di un numero complesso, non faccio mica tutta 'sta tiritera ogni volta.
@Gugo: situazionale=relativo a una situazione. Dal punto di vista algebrico, il sistema è comodo nella situazione in cui il seno dell'angolo è un valore noto. Non sei d'accordo?
Sia chiaro, per il calcolo dell'argomento di un numero complesso, non faccio mica tutta 'sta tiritera ogni volta. @Gugo: situazionale=relativo a una situazione. Dal punto di vista algebrico, il sistema è comodo nella situazione in cui il seno dell'angolo è un valore noto. Non sei d'accordo?
"Mathita":
... non faccio mica tutta 'sta tiritera ogni volta.
Ah, mi pareva ...
@Mathita: In realtà, come ho detto più sopra, anche l'equazione in tangente è comoda solo quando $b/a$ è un valore noto; dato che i valori noti di $tan$ sono ricavati da valori noti di $sin$ e $cos$, non c'è alcuna differenza tra sistema ed equazione, perché l'uno si risolve "a mano" quando l'altra si risolve "a mano".
Tuttavia, il sistema è preferibile perché non uccide le informazioni sui segni di $cos$ e $sin$.
Tuttavia, il sistema è preferibile perché non uccide le informazioni sui segni di $cos$ e $sin$.
Sì, concordo. D'altro canto, il sistema
\begin{cases}\cos(t)=\frac{3}{5}\\ \sin(t)=-\frac{4}{5}\end{cases}
[strike]è più complicato dell'equazione[/strike] sembra essere più complicato dell'equazione
$\tan(t)=-\frac{4}{3}$ con $t\in(-\pi/2, 0)$
se non si possiede una buona dimestichezza con le funzioni goniometriche (e loro inverse).
\begin{cases}\cos(t)=\frac{3}{5}\\ \sin(t)=-\frac{4}{5}\end{cases}
[strike]è più complicato dell'equazione[/strike] sembra essere più complicato dell'equazione
$\tan(t)=-\frac{4}{3}$ con $t\in(-\pi/2, 0)$
se non si possiede una buona dimestichezza con le funzioni goniometriche (e loro inverse).
Grazie!! Mi avete tolto ogni dubbio!!
Finalmente ho chiara la dimostrazione, mi ero dimenticato di "muovermi" nell'intervallo $ (-\pi, \pi] $ come da linea iniziale.
Anche la strada del sistema
\[ \begin{cases} \cos \theta = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} \\ \sin \theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|} \end{cases} \; ? \]
Ringrazio tutti per l'aiuto !!!
Finalmente ho chiara la dimostrazione, mi ero dimenticato di "muovermi" nell'intervallo $ (-\pi, \pi] $ come da linea iniziale.
Anche la strada del sistema
\[ \begin{cases} \cos \theta = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} \\ \sin \theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|} \end{cases} \; ? \]
Ringrazio tutti per l'aiuto !!!
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