Equazione integrale definito
Buongiorno vorrei capire come risolvere la seguente equazione:
$$\int_{t=0}^{\arccos(R/(2r))}(\sqrt(r^2 - R^2sint^2) - R\cos(t) + r)dt =\pi*r^2/4$$
Credo che per semplificare i calcoli sia lecito porre $r=1$, dato che è una costante come lo è R, che però è l' incognita.
La mia prima difficoltà sta nel calcolare l' integrale indefinito, estratto dalla decomposizione:
$\int\sqrt(r^2 - R^2\sint^2)dt$
Qui potrei procedere riscrivendolo cosi?
$\int(1 - R^2\sint^2)^(1/2)dt$
Come si prosegue?
Grazie per l' eventuale aiuto.
$$\int_{t=0}^{\arccos(R/(2r))}(\sqrt(r^2 - R^2sint^2) - R\cos(t) + r)dt =\pi*r^2/4$$
Credo che per semplificare i calcoli sia lecito porre $r=1$, dato che è una costante come lo è R, che però è l' incognita.
La mia prima difficoltà sta nel calcolare l' integrale indefinito, estratto dalla decomposizione:
$\int\sqrt(r^2 - R^2\sint^2)dt$
Qui potrei procedere riscrivendolo cosi?
$\int(1 - R^2\sint^2)^(1/2)dt$
Come si prosegue?
Grazie per l' eventuale aiuto.
Risposte
Ciao curie88,
Riscrivo l'equazione, perché così come l'hai scritta non è molto chiara:
$ \int_{t=0}^{\arccos(R/(2r))}[\sqrt{r^2 - R^2sin^2(t)} - R cos(t) + r]dt = \pi r^2/4 $
Se è così, l'unico problema sta proprio nel risolvere l'integrale $\int \sqrt{r^2 - R^2 sin^2(t)} dt $, dato che si tratta di un integrale ellittico di seconda specie con parametro $ m = k^2 = R^2/r^2 $:
$\int \sqrt{r^2 - R^2 sin^2 (t)} dt = r \int \sqrt{1 - (R^2/r^2) sin^2(t)} dt = r E(t | R^2/r^2) + c $
supponendo che $r$, $R$ e $t$ siano reali positivi.
Riscrivo l'equazione, perché così come l'hai scritta non è molto chiara:
$ \int_{t=0}^{\arccos(R/(2r))}[\sqrt{r^2 - R^2sin^2(t)} - R cos(t) + r]dt = \pi r^2/4 $
Se è così, l'unico problema sta proprio nel risolvere l'integrale $\int \sqrt{r^2 - R^2 sin^2(t)} dt $, dato che si tratta di un integrale ellittico di seconda specie con parametro $ m = k^2 = R^2/r^2 $:
$\int \sqrt{r^2 - R^2 sin^2 (t)} dt = r \int \sqrt{1 - (R^2/r^2) sin^2(t)} dt = r E(t | R^2/r^2) + c $
supponendo che $r$, $R$ e $t$ siano reali positivi.
Ha tutto l'aspetto di un'equazione non risolvibile elementarmente.
Se ti serve l'esistenza di una soluzione, puoi usare i teoremi classici dell'Analisi che sono deputati allo scopo, i.e. i teoremi degli zeri, dei valori intermedi o quello del Dini... Insomma, hai da lavorarci un po' su.
Se, invece, vuoi calcolare una soluzione per qualche valore dei parametri, ti basta dare l'equazione in pasto a Mathematica.
P.S.: Tanto per curiosità, da dove esce sta roba? Problemi di elettromagnetismo?
Se ti serve l'esistenza di una soluzione, puoi usare i teoremi classici dell'Analisi che sono deputati allo scopo, i.e. i teoremi degli zeri, dei valori intermedi o quello del Dini... Insomma, hai da lavorarci un po' su.
Se, invece, vuoi calcolare una soluzione per qualche valore dei parametri, ti basta dare l'equazione in pasto a Mathematica.
P.S.: Tanto per curiosità, da dove esce sta roba? Problemi di elettromagnetismo?
Grazie ad entrambi.
@gugo82, infatti anche a me sembra un equazione piuttosto complessa.
In verità questa equazione l' ho formulata per risolvere un problema postato nella categoria giochi:
viewtopic.php?f=12&t=188966
Non so, se effettivamente essa è ben impostata, ma molto probabilmente, come è mia abitudine, mi sarò complicato la vita, tentando di semplificare i calcoli ed ottenere una soluzione precisa del problema.
Comunque ero curioso di sapere come risolverla e se essa portavo al risultato esatto.
L' equazione l' ho già data in pasto a wolfram-alpha. Rubando la serie di Taylor che ne saltava fuori dal risolvere il primo integrale della decomposizione, il risultato non si discostava molto da quello calcolato dal primo utente che ha risposto alla discussione del problema.
Credo che l'errore commesso, possa essere giustificato dall' approssimazione della serie, ma non ne sono certo.
@gugo82, infatti anche a me sembra un equazione piuttosto complessa.
In verità questa equazione l' ho formulata per risolvere un problema postato nella categoria giochi:
viewtopic.php?f=12&t=188966
Non so, se effettivamente essa è ben impostata, ma molto probabilmente, come è mia abitudine, mi sarò complicato la vita, tentando di semplificare i calcoli ed ottenere una soluzione precisa del problema.
Comunque ero curioso di sapere come risolverla e se essa portavo al risultato esatto.
L' equazione l' ho già data in pasto a wolfram-alpha. Rubando la serie di Taylor che ne saltava fuori dal risolvere il primo integrale della decomposizione, il risultato non si discostava molto da quello calcolato dal primo utente che ha risposto alla discussione del problema.
Credo che l'errore commesso, possa essere giustificato dall' approssimazione della serie, ma non ne sono certo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo