Analisi matematica di base

Buongiorno! Situazione un po' strana, sto studiando all'estero e mi sono imbattuto in un esercizio per il quale non riesco a trovare soluzione. Mi si chiede di trovare la serie di fourier della funzione $ f(x)=x^2 $ con $ x in [-pi;pi] $ e quindi di calcolare, utilizzando la serie trovata, la somma delle seguenti serie $ sum_(n = 1) ^(oo) 1/n^2 $ e $ sum_(n = 1) ^(oo) (-1)^(n+1)/n^2 $ Ora, so come arrivare alla serie trigonometrica ma come diamine trovo le somme delle serie? Ho cercato negli appunti e online non ...

Ciao a tutti, mi chiedo se valga in $RR$ questa giustificazione per la disuguaglianza triangolare: \[\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\le |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y) \] ottenuta semplicemente sommando e sottraendo $z$? Devo dimostrare che $RR$ dotato della distanza euclidea è uno spazio metrico, e questa è l'unica proprietà non immediatamente ovvia dalla definizione di valore assoluto...

Ciao a tutti, riporto il testo dell'esercizio in inglese (sono diventato troppo pigro per tradurre): Let $X$ be the set of all ordered triples of zeros and ones. Show that $X$ consists of eight elements and a metric $d$ on $X$ is defined by \(\displaystyle d(x, y) = \text{number of places where x and y have different entries} \). Sequenze ripetute di due elementi da tre si calcolano dalla combinatoria elementare come $2^3=8$. ...

Find all metrics on a set $X$ consisting of two points, and consisting of one point. Questa domanda mi sta facendo grattare un po' la testa. Per la prima, la prima cosa che viene in mente è l'analogo della metrica discreta, in una versione leggermente più generale: considero una distanza che resistuisca un numero $0$ nel caso in cui prenda i due punti uguali, e un altro numero $m>0$ quando prendo quelli diversi (non sono costretto a scegliere l'uno, ...

salve ho questa serie $ sum_(n = \1) ^oo [sin(sinn)]^n $ . dal criterio di convergenza può divergere o convergere. inizialmente avevo pensato al metodo della radile ma non una successione di numeri positivi ma alterni perchè $-1<sinn<1$. per cui ho semplicemente ragionato sul limite notevole ovvero $ lim_(n -> oo) sinn/n=0 $ per cui applicando due volte ottengo $0^n$ ovvero $0$ essendo $0<1$sempre la serie data converge sempre. Non so se sia giusta tale ragionamento e se ...

Salve gente, ultimamente mi sto "affacciando" alla parte del mio programma di Analisi II circa la teoria delle misure e non nascondo che mi sto trovando veramente in difficoltà a dare un senso a diversi concetti, vista la scarsa intuitività della disciplina. Senza perdere ulteriore tempo, ho nel programma la dimostrazione del fatto che la misura esterna di Lebesgue goda della proprietà citata nel titolo. Aperti gli appunti presi a lezione, li ho immediatamente richiusi perché le spiegazioni del ...

Ciao a tutti, sto avendo dei problemi ad ordinare delle successioni, in particolare quando ci sono seni e coseni di mezzo, so che quando il limite per n-> ∞ è ∞ allora la successione al numeratore è più grande di quella al denominatore ma mi trovo in una situazione particolare, vi spiego: $lim_{n \to \infty} ((2n^n)/(sen(1/n)))$ è il mio limite per confrontare le due successioni, applica de l'Hôpital e ottengo $lim_{n \to \infty} ((2n^n(log(n)+1))/-((cos(1/n))/n^2))$ che semplifico in $-lim_{n \to \infty} ((2n^n(log(n)+1)n^2)/(cos(1/n)))$ ora questo limite dovrebbe risolversi ...

Salve, avrei diversi dubbi sullo svolgimento di questo esercizio: $ f_n(x)=(n-x)^2/(1+2(n-x)^2) $ $ x in R $, $ n=1,2,3.. $ Devo valutare 1)la convergenza puntuale, 2)la convergenza uniforme in R 3)la convergenza uniforme in [0,1]. 1)La convergenza puntuale è: $ lim_(n -> oo ) f_n(x)=1/2 $ 2)Devo verificare che: \( \lim_{n\rightarrow \infty } sup|f_n(x)-f(x)| = 0 \) Posso procedere calcolando la derivata prima: $ D(f_n(x)-f(x)) $ $ (f_n(x)-f(x))=(-1)/(2+4(n-x)^2) $ $ D(f_n(x)-f(x))= -(8(n-x))/(2+4(n-x)^2) $ ...

Salve a tutti ho questa serie che ho svolto con Condensazione o Cauchy. $ sum_( n= 2)^oo1/(nlnn!) $ . ho applicato il criterio necessario di convergenza ed il limite è 0 per gli infinitesimi quindi la serie può convergere o divergere. Applico cauchy in quanto è una funzione decrescente : $ lim_(N -> OO) 2^n/(2^<br /> nln2^(n!)) $ . semplificando ottengo $ lim_(N -> OO) 1/(ln2^(n!)) $ posso concludere che per infinitesimi il limite è 0 per cui converge '?? oppure è sbagliato? grazie in anticipo

salve a tutti , ho un dubbio su una serie, ovvero : $ sum_{n=0}^ootg(n/(n^3+1) ) $ so che la serie data può convergere o divergere perchè il limite per n che tende a infinito è 0.(Criterio necessario di convergenza), adesso applico il confronto semplice $ sum_{n=0}^ootg(n/(n^3+1) )~ sum_{n=0}^oo1/n^2 $ so che la seconda converge perchè è una serie armonica generalizzata per cui converge anche la mia serie iniziale. Il mio dubbio è il seguente posso confrontarla direttamente con $1/n^2$? o devo fare altre considerazioni?? il ...

Volevo chiedervi una cosa. Nella costruzione dell'integrale multiplo, partendo da funzioni a scalino parto dalla seguente definizione sia $QsubseteqRR^n$ un sottoinsieme limitato di $RR^n$, diremo che $Q$ è un plurirettangolo se è unione finita di intervalli di $RR^n$. Diremo che una famiglia finita di intervalli $F={I_k: k=1,...,n}$ è una suddivisione di $Q$ se - $bigcup_(k=1)^(n)I_k=Q$ quindi $Q$ è un plurirettangolo - se ...

Ciao a tutti. Non riesco a risolvere il seguente esercizio. Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire dove sbaglio. Grazie in anticipo. "Determinare l'area del segmento parabolico determinato dalla parabola y=-x^2+4x-1 e dalla retta y=2" Ho impostato l'esercizio nel seguente modo: -ho individuato gli estremi di integrazione in 1 e 3 (eguagliando le due equazioni) -ho risolto l'integrale definito considerando tali estremi e utilizzando come funzione integranda l'equazione della ...

Salve, non capisco come procedere nella risoluzione di questo esercizio: Si trovino e classifichino i punti critici di: $ f(x,y,z)=(x-1)^4-(x-y)^4-(y-z)^4 $ Procedo con il sistema: $ \{(f_x= 0),(f_y= 0),(f_z= 0):} $ $ \{(4(x-1)^3 -4(x-y)^3 = 0),(4(x-y)^3-4(y-z)^3=0),(4(y-z)^3=0):}<br /> <br /> \{((y-z)^3 = 0),((x-y)^3=0),((x-1)^3=0):} $ Ottenendo $ P(1,1,1) $ la matrice Hessiana mi risulta: \( \begin{vmatrix} \displaystyle fxx & \displaystyle fxy & \displaystyle fxz \\ \displaystyle fyx & \displaystyle fyy & \displaystyle fyz \\ \displaystyle fzx & \displaystyle fzy & \displaystyle fzz \end{vmatrix}=0 \) ...

Buonasera a tutti, essendo il mio primo post, chiedo scusa se non scrivo le formule correttamente. Ad ogni modo, vorrei chiedere un chiarimento riguardo il seguente limite: lim (1/x - 1/lg(1 + x + x^2)) x->0 Usando il limite notevole del logaritmo, il limite sembra calcolabile normalmente (assenza di zeri a numeratore e/o denominatore) con risultato finale pari a 1. Ma il risultato è sbagliato, tant'è che, usando lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo con arresto al 2° ordine, il ...

Salve, avrei questo esercizio da risolvere: $ f(x,y)={(\frac{1-cosx}{|x|+y^2},if (x,y)!=0),(text{0},if (x,y)=0):} $ a)si stabilisca se f è continua in (0,0). b)si stabilisca se esistono le derivate parziali di f in (0,0) e qualora esistano, le si calcoli. c) si stabilisca se f è differenziabile in (0,0). a) Devo verificare che: $ lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)=0 $ Avevo provato a procedere per maggiorazioni: $ |\frac{1-cosx}{|x|+y^2}|<=|(1-cosx)|<=1/2x^2 $ Arrivando ad affermare così che f tende a zero e quindi è continua in (0,0), il professore però mi ha segnalato ciò come errore e che ...

buonasera a tutti ho questa serie da svolgere. $ sum_{n=0}^oo(cospi n)/(n+2) $ . Applico il criterio di necessario di convergenza $ lim_(n -> oo) (cospi n)/(n+2)=0 $ è zero in quando il coseno è limitato per cui un numero su infinito è 0. ora come la posso continuare?? grazie in anticipo

Cerco la dimostrazione completa del Teorema di Leibniz II. Non ho trovato approfondimenti al riguardo. TEOREMA Enunciato: Sia $\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n a_n$ una serie numerica alternante. Supponiamo che $a_(n+1) > a_n >0$ $AA n in NN$. Allora la serie è oscillante e infinitamente grande.

Salve a tutti, ho un dubbio su questa domanda la quale il professore ha chiesto di rispondere, in quanto io so che la stretta monotonia non implica sempre la bigettività di una funzione, in quanto è sempre iniettiva ma può non essere suriettiva. Mi sbaglio? Quindi non capisco perchè questa domanda è stata posta in modo da far intendere che una volta che una funzione è strettamente monotona allora sicuramente è invertibile. Dove sto sbagliando? Grazie a tutti

Ciao, non riesco a capire come affrontare la risoluzione di questo esercizio. Qualcuno riesce ad essermi di aiuto? Grazie Si consideri l’equazione differenziale du/dt=(t*e^u)/(1+t^2) 1 - Trovare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale u(0) = 0. 2 - Dimostrare che la soluzione `e definita in un intervallo del tipo (−∞, T). Calcolare il valore di T 3 - Calcolare il limite lim t→T − di u(t). 4 - Calcolare il limite lim t→−∞ di u(t). Dovrei cominciare spostando i vari ...

Buongiorno a tutti, sono uno studente iscritto al primo anno di ingegneria meccanica (prossimo al secondo) e in questi giorni di sessione estiva ho iniziato a studiare analisi matematica I e poi II. Scrivo questo post perché sulla rete e su questo forum non ho trovato una risposta a quello che è il mio problema e spero che possiate aiutarmi. Tengo a far presente che, da studente di ingegneria, ho delle normali basi di matematica pertanto siate liberi di esprimere i concetti come preferite anche ...