Massimi e minimi sul bordo
Ciao!
Mi chiedevo quanto fosse vera la mia seguente affermazione:
sia $f:A->RR$ con $AsubseteqRR^2$ un insieme compatto e $f$ differenziabile.
se $nablaf(x,y)ne0,forall(x,y) in A$ allora per weierstrass esistendo massimi e minimi assoluti essi si troveranno sul bordo $partialA$.
supponiamo che esistano un intervallo $J$ e una funzione $varphi:J->partialA$ suriettiva e che la funzione $fcirc varphi:J->partialA->RR$ abbia un punto di massimo assoluto, ovvero esiste
possiamo affermare che $x_M$ è di massimo assoluto per $f$ su $A$?
ho concluso così: supponiamo che $y in partialA$ sia un punto di massimo assoluto di $f$ in $A$.
allora abbiamo che $f(x)leqf(y),forall x in A$ e dalla suriettività di $varphi$ segue che esiste un $s' in J$ tale che $varphi(s')=y$ pertanto segue che $f(x)leqfcircvarphi(s'),forall x in A$
dunque dovrà essere $fcircvarphi(t)leqfcircvarphi(s'), forall t in J$ essendo $varphi(t) in partialAsubseteqA$ quindi sarà anche $fcircvarphi(s)leqfcircvarphi(s')$ e viceversa $fcircvarphi(s')leqfcircvarphi(s)$ in quanto $s$ è il punto di massimo assoluto(considerato) di $fcircvarphi$ dunque segue che $fcircvarphi(s')=fcircvarphi(s)$
quindi anche $varphi(s):=x_M$ è un punto massimo assoluto per $f$ in $A$
In poche parole tutti i punti di $s inJ$ che sono massimi assoluti per $fcircvarphi$ in $partialA$ hanno la proprietà che i $varphi(s)$ sono massimi assoluti per $f$ in $A$
Mi chiedevo quanto fosse vera la mia seguente affermazione:
sia $f:A->RR$ con $AsubseteqRR^2$ un insieme compatto e $f$ differenziabile.
se $nablaf(x,y)ne0,forall(x,y) in A$ allora per weierstrass esistendo massimi e minimi assoluti essi si troveranno sul bordo $partialA$.
supponiamo che esistano un intervallo $J$ e una funzione $varphi:J->partialA$ suriettiva e che la funzione $fcirc varphi:J->partialA->RR$ abbia un punto di massimo assoluto, ovvero esiste
$s in J : fcircvarphi(t)leq fcircvarphi(s)=f(x_M), forall t in J$ posto $varphi(s):=x_M in partialA$
possiamo affermare che $x_M$ è di massimo assoluto per $f$ su $A$?
ho concluso così: supponiamo che $y in partialA$ sia un punto di massimo assoluto di $f$ in $A$.
allora abbiamo che $f(x)leqf(y),forall x in A$ e dalla suriettività di $varphi$ segue che esiste un $s' in J$ tale che $varphi(s')=y$ pertanto segue che $f(x)leqfcircvarphi(s'),forall x in A$
dunque dovrà essere $fcircvarphi(t)leqfcircvarphi(s'), forall t in J$ essendo $varphi(t) in partialAsubseteqA$ quindi sarà anche $fcircvarphi(s)leqfcircvarphi(s')$ e viceversa $fcircvarphi(s')leqfcircvarphi(s)$ in quanto $s$ è il punto di massimo assoluto(considerato) di $fcircvarphi$ dunque segue che $fcircvarphi(s')=fcircvarphi(s)$
quindi anche $varphi(s):=x_M$ è un punto massimo assoluto per $f$ in $A$
In poche parole tutti i punti di $s inJ$ che sono massimi assoluti per $fcircvarphi$ in $partialA$ hanno la proprietà che i $varphi(s)$ sono massimi assoluti per $f$ in $A$
Risposte
Ciao zoolander! Premetto subito che non sono un esperto della materia e che quelle che seguono sono solo considerazioni di carattere generico,
Questa affermazione è vera, anche se io conosco la versione in cui il gradiente è diverso dal vettore nullo per tutti i punti interni ad $A$.
Qui mi sono perso con le notazioni scelte, probabilmente intendevi scrivere $varphi(s):=x_M$ e non $varphi(t):=x_M$. Inoltre, ancor più importante: chi ti garantisce che esista una suriezione dall'intervallo $J$ al bordo? (Sinceramente non riesco a immaginare insiemi "strani" che non rispettano quanto hai scritto, ma la Matematica nasconde davvero molto bene i cosiddetti "mostri"). Il punto sostanziale è che durante una dimostrazione, non puoi supporre che esistano degli enti che poi sfrutterai nel seguito, a meno che non ti servano per raggiungere un assurdo.
Quello che scrivi qui, mi sembra abbastanza convincente, però ora è l'una e trenta... magari mi sarà sfuggito qualche dettaglio (oppure non ho proprio visto l'elefante nella stanza).
"anto_zoolander":
Mi chiedevo quanto fosse vera la mia seguente affermazione:
sia $f:A->RR$ con $AsubseteqRR^2$ un insieme compatto e $f$ differenziabile.
se $nablaf(x,y)ne0,forall(x,y) in A$ allora per weierstrass esistendo massimi e minimi assoluti essi si troveranno sul bordo $partialA$.
Questa affermazione è vera, anche se io conosco la versione in cui il gradiente è diverso dal vettore nullo per tutti i punti interni ad $A$.
"anto_zoolander":
supponiamo che esistano un intervallo $J$ e una funzione $varphi:J->partialA$ suriettiva e che la funzione $fcirc varphi:J->partialA->RR$ abbia un punto di massimo assoluto, ovvero esiste
$s in J : fcircvarphi(t)leq fcircvarphi(s)=f(x_M), forall t in J$ posto $varphi(t):=x_M in partialA$
possiamo affermare che $x_M$ è di massimo assoluto per $f$ su $A$?
Qui mi sono perso con le notazioni scelte, probabilmente intendevi scrivere $varphi(s):=x_M$ e non $varphi(t):=x_M$. Inoltre, ancor più importante: chi ti garantisce che esista una suriezione dall'intervallo $J$ al bordo? (Sinceramente non riesco a immaginare insiemi "strani" che non rispettano quanto hai scritto, ma la Matematica nasconde davvero molto bene i cosiddetti "mostri"). Il punto sostanziale è che durante una dimostrazione, non puoi supporre che esistano degli enti che poi sfrutterai nel seguito, a meno che non ti servano per raggiungere un assurdo.
"anto_zoolander":
ho concluso così: supponiamo che $y in partialA$ sia un punto di massimo assoluto di $f$ in $A$.
allora abbiamo che $f(x)leqf(y),forall x in A$ e dalla suriettività di $varphi$ segue che esiste un $s' in J$ tale che $varphi(s')=y$ pertanto segue che $f(x)leqfcircvarphi(s'),forall x in A$
dunque dovrà essere $fcircvarphi(t)leqfcircvarphi(s'), forall t in J$ essendo $varphi(t) in partialAsubseteqA$ quindi sarà anche $fcircvarphi(s)leqfcircvarphi(s')$ e viceversa $fcircvarphi(s')leqfcircvarphi(s)$ in quanto $s$ è il punto di massimo assoluto(considerato) di $fcircvarphi$ dunque segue che $fcircvarphi(s')=fcircvarphi(s)$
quindi anche $varphi(s):=x_M$ è un punto massimo assoluto per $f$ in $A$
In poche parole tutti i punti di $s inJ$ che sono massimi assoluti per $fcircvarphi$ in $partialA$ hanno la proprietà che i $varphi(s)$ sono massimi assoluti per $f$ in $A$
Quello che scrivi qui, mi sembra abbastanza convincente, però ora è l'una e trenta... magari mi sarà sfuggito qualche dettaglio (oppure non ho proprio visto l'elefante nella stanza).
Si intendevo $varphi(s):=x_M$
Per la suriezione, l’ho assunta come ipotesi fondamentalmente, per usarla in seguito appunto.
In poche parole le ipotesi sono tutte quelle prima della domanda
Per la suriezione, l’ho assunta come ipotesi fondamentalmente, per usarla in seguito appunto.
In poche parole le ipotesi sono tutte quelle prima della domanda
Sinceramente, anto, non capisco dove vuoi andare a parare (come pure non lo capivo qui).
Innanzitutto, che senso ha dire che $f$ è differenziabile se il compatto $A$ è un insieme formato da due soli punti?
Poi, ammesso che $A$ sia un dominio (come si dice, cioè la chiusura di un aperto) limitato ed il gradiente di $f$ non si annulla dentro $A$, dove li vuoi trovare gli estremi assoluti di $f$? Stanno necessariamente sul bordo, non c’è nulla da provare...
Innanzitutto, che senso ha dire che $f$ è differenziabile se il compatto $A$ è un insieme formato da due soli punti?
Poi, ammesso che $A$ sia un dominio (come si dice, cioè la chiusura di un aperto) limitato ed il gradiente di $f$ non si annulla dentro $A$, dove li vuoi trovare gli estremi assoluti di $f$? Stanno necessariamente sul bordo, non c’è nulla da provare...
Quanti problemi...
Ma noi siamo matematici, ci siamo abituati.
Le certezze assolute le lasciamo agli ingegneri, così non perdono troppo tempo a pensare... Non sia mai!
Le certezze assolute le lasciamo agli ingegneri, così non perdono troppo tempo a pensare... Non sia mai!
Purtroppo vulplasir va accettato come ingegnere 
@gugo il mio intento era di affermare se fosse vero che per una funzione definita su un dominio di $RR^n$, il cui gradiente non si annulla mai all’interno, potessero essere caratterizzato dai massimi di $fcircvarphi$ dove $varphi$ parametrizza il bordo con una suriezione e nella dimostrazione tento(non si sa mai sia sbagliata) di dimostrarlo
@gugo il mio intento era di affermare se fosse vero che per una funzione definita su un dominio di $RR^n$, il cui gradiente non si annulla mai all’interno, potessero essere caratterizzato dai massimi di $fcircvarphi$ dove $varphi$ parametrizza il bordo con una suriezione e nella dimostrazione tento(non si sa mai sia sbagliata) di dimostrarlo
Giusto per intenderci, sotto le ipotesi che hai imposto ti stai chiedendo se $\max_{(x,y)\in A}f(x,y)=\max_{t\in J}f\circ\phi(t)$ dove $\phi: J\subseteq\mathbb{R}\mapsto \partial A$ è una parametrizzazione del bordo di $A$? Ancora meglio se $s\in J$ è il/un parametro di "massima quota" per la funzione $f\circ\phi(t)$ allora $\phi(s)=(x_s, y_s)$ è punto di massimo assoluto per $f(x,y)$?
Si in sostanza si, che poi è appunto quello che ho mostrato e mi sembra abbastanza a sensato
Sì, anche a me. 
Mi sono fatto fuorviare dall'enunciato in grassetto . Un consiglio per il futuro: scrivi meglio l'enunciato di ciò che vuoi dimostrare, isolando le ipotesi e la tesi dalla dimostrazione, altrimenti un "matematico professionista" - quale NON sono io - potrebbe riscontrare molte difficoltà nell'interpretare i tuoi ragionamenti. 
Mi sono fatto fuorviare dall'enunciato in grassetto . Un consiglio per il futuro: scrivi meglio l'enunciato di ciò che vuoi dimostrare, isolando le ipotesi e la tesi dalla dimostrazione, altrimenti un "matematico professionista" - quale NON sono io - potrebbe riscontrare molte difficoltà nell'interpretare i tuoi ragionamenti.
Fa parte di me il non essere ‘chiaro’, alcuni qui mi ‘vogliono bene’ per questo
[ot]
Ho pensato un po' a questa domanda ma non credo vi siano insidie nascoste. Addirittura i chiusi in uno spazio polacco sono insiemi perfetti (in senso set-teoretico), quindi sappiamo che l'ipotesi del continuo non rompe le scatole...[/ot]
"Mathita":
[...] chi ti garantisce che esista una suriezione dall'intervallo $J$ al bordo? [...]
Ho pensato un po' a questa domanda ma non credo vi siano insidie nascoste. Addirittura i chiusi in uno spazio polacco sono insiemi perfetti (in senso set-teoretico), quindi sappiamo che l'ipotesi del continuo non rompe le scatole...[/ot]
[ot]
Questo non direi, ${0}uu{1/n|n\inNN}$ è chiuso in $RR$ ma non perfetto.
Cosa intendi?[/ot]
"Delirium":
Addirittura i chiusi in uno spazio polacco sono insiemi perfetti
Questo non direi, ${0}uu{1/n|n\inNN}$ è chiuso in $RR$ ma non perfetto.
quindi sappiamo che l'ipotesi del continuo non rompe le scatole...
Cosa intendi?[/ot]
[ot]
Lo è in senso set-teoretico (è numerabile), che è quello che interessava a me.
Che, ipoteticamente, mi scoccerebbe il dover trattare con insiemi "controintuitivi" di cardinalità intermedie. E' un impedimento di natura mentale, non matematica.[/ot]
"otta96":
[...] Questo non direi, ${0}uu{1/n|n\inNN}$ è chiuso in $RR$ ma non perfetto. [...]
Lo è in senso set-teoretico (è numerabile), che è quello che interessava a me.
"otta96":
[...] Cosa intendi?
Che, ipoteticamente, mi scoccerebbe il dover trattare con insiemi "controintuitivi" di cardinalità intermedie. E' un impedimento di natura mentale, non matematica.[/ot]
@anto: Come detto, hai poco da dimostrare.
Se $f$ non ha estremi relativi interni, i punti di massimo e minimo assoluto sono sulla frontiera; se riesci a parametrizzare in modo conveniente la frontiera con una funzione $phi$, i punti di estremo assoluto per $f$ coincidono con le immagini dei punti di estremo assoluto di $f circ phi$.
Se $f$ non ha estremi relativi interni, i punti di massimo e minimo assoluto sono sulla frontiera; se riesci a parametrizzare in modo conveniente la frontiera con una funzione $phi$, i punti di estremo assoluto per $f$ coincidono con le immagini dei punti di estremo assoluto di $f circ phi$.
Anche poco, è sempre un buon esercizio per la mente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo