Considerazione limiti in due variabili
Buondì, per una volta la domanda che mi pongo non viene da un esercizio ma da una riflessione su cui avrei bisogno di un parere.
Dunque, partendo dalle condizioni di esistenza di un limite in due variabili, ho il concetto dell'uguaglianza dei limiti delle varie restrizioni, cioè che il limite non deve cambiare valore quando sostituisco a una variabile curve qualsiasi scritte in funzione dell'altra variabile.
Il dubbio che ho è: e se invece io ragionassi in termini "direzionali", e approcciassi il limite prima verticalmente e poi orizzontalmente, ovviamente volendo lo stesso risultato? Ad esempio:
$lim_((x,y) -> (0,0)) arctan(x/(x^2+y^2)) $, che non esiste.
Se invece di passare attraverso le restrizioni, per dimostrare che il limite (non) PUO' esistere, io facessi:
$lim_((0,y) -> (0,0))arctan(x/(x^2+y^2)) = lim_((0,y) -> (0,0))arctan(0/(0^2+y^2))=0 $
$lim_((x,0) -> (0,0))arctan(x/(x^2+y^2)) = lim_((x,0) -> (0,0))arctan(x/(x^2+0^2))=arctan(oo)=pi/2 $
dunque il limite non esiste. La domanda che mi pongo a questo punto è: questa condizione può sostituire quella delle restrizioni? In altre parole, l'uguaglianza dei limiti verticale e orizzontale equivale all'uguaglianza dei limiti di tutte le possibili restrizioni?
Grazie!
Dunque, partendo dalle condizioni di esistenza di un limite in due variabili, ho il concetto dell'uguaglianza dei limiti delle varie restrizioni, cioè che il limite non deve cambiare valore quando sostituisco a una variabile curve qualsiasi scritte in funzione dell'altra variabile.
Il dubbio che ho è: e se invece io ragionassi in termini "direzionali", e approcciassi il limite prima verticalmente e poi orizzontalmente, ovviamente volendo lo stesso risultato? Ad esempio:
$lim_((x,y) -> (0,0)) arctan(x/(x^2+y^2)) $, che non esiste.
Se invece di passare attraverso le restrizioni, per dimostrare che il limite (non) PUO' esistere, io facessi:
$lim_((0,y) -> (0,0))arctan(x/(x^2+y^2)) = lim_((0,y) -> (0,0))arctan(0/(0^2+y^2))=0 $
$lim_((x,0) -> (0,0))arctan(x/(x^2+y^2)) = lim_((x,0) -> (0,0))arctan(x/(x^2+0^2))=arctan(oo)=pi/2 $
dunque il limite non esiste. La domanda che mi pongo a questo punto è: questa condizione può sostituire quella delle restrizioni? In altre parole, l'uguaglianza dei limiti verticale e orizzontale equivale all'uguaglianza dei limiti di tutte le possibili restrizioni?
Grazie!
Risposte
No, non equivale.
Considera la funzione:
\[
f(x,y) := \begin{cases} 1 &\text{, se $x=0$ oppure $y=0$}\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
ed il:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \;.
\]
Considera la funzione:
\[
f(x,y) := \begin{cases} 1 &\text{, se $x=0$ oppure $y=0$}\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
ed il:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \;.
\]
Perdonami ma non sono sicuro di capire.
A questo punto sono certo di sbagliare, ma i limiti orizzontale e verticale di quella funzione non valgono entrambi 1? E qualsiasi restrizione io imponga il limite non è uguale?
A questo punto sono certo di sbagliare, ma i limiti orizzontale e verticale di quella funzione non valgono entrambi 1? E qualsiasi restrizione io imponga il limite non è uguale?
Metti $y=x$ e fatti il conto.
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