Gaussiana: determinazione della larghezza del picco alla base

[cathelbar]

Salve, sto studiando la distribuzione normale di gauss. La larghezza del picco alla base è 4 $\sigma$ e questo valore si dovrebbe ricavare dall'interzione delle tangenti nei punti di flesso ($\mu \pm \sigma$) e l'asse delle ascisse. In problema è che vorrei ricavarmi questo valore matematicamente, magari sfruttando la proprietà della similitudine tra triangoli. In pratica vorrei costruire il triangolo che ha per vertice il punto di incontro tra le due tangenti e ricavare che quel punto ha cordinate $(\mu, 1.2)$ in modo che poi posso impostare la proporzione secondo cui $0,6 : 2\sigma= 1.2 : x ->x=(2\sigma*1.2)/0.6$. Il problema è che non riesco a ricavarmi quel punto. Ho provato a fare la derivata prima della funzione della gaussiana $1/(σ√2π)$ *$e$^$ [-1/(2σ^2)$*$(x- \mu)^2]$ , dopodiche ho sostituito alla x i valori del punto di flesso ossia, per la tangente 1, ho usato $\mu - \sigma$ e per la tangente 2 $\mu + \sigma$. dopodiché mi sono ricavata l'equazione delle due rette tangenti e alla fine le ho messe a sistema per ricavarmi il punto di intersezione. Fatto sta che non mi trovo. L'aternativa a questo metodo sarebbe considerare che se a 0,6 la larghezza è $2 \sigma$ e a 0.5 è $2.354 \sigma$ vuol dire che per ogni diminuzione di altezza di 0.1 la larghezza aumenta di 0,354 e quindia 0 dovrei fare $2 \sigma + (0.354 *6) = 4.124 \sigma$. Ma ripeto, siccome il metodo maggiormente usato è quello delle tangenti, vorrei capire se c'è un modo per ricavarmi questo valore di $4 \sigma$ con le tangenti. Grazie in anticipo. Aiutatemi per favore

Ps: ho provato a scrivere i simboli mediante la scrittura "Simboli LaTex" ma non si riescono a visualizzare. Spero che il messaggio sia comunque comprensibile. Scusate.

[Sk_Anonymous]

"Kathe":[...] Ps: ho provato a scrivere i simboli mediante la scrittura "Simboli LaTex" ma non si riescono a visualizzare. Spero che il messaggio sia comunque comprensibile. Scusate.

Basta inserire un simbolo di dollaro all'inizio della formula ed uno alla fine, così:

$ formula $

(puoi modificare il tuo messaggio usando il tasto "modifica" in alto a destra). In questo modo rendi molto più leggibile il testo.

[cathelbar]

Ci provo subito Grazie per il suggerimento

Ps: Fatto! Grazie ancora per il consiglio. Però il simbolo della radice quadrata non sono riuscita ad inserirlo con $\surd$... ...Come mai? In ogni caso ho ovviato facendo copia/incolla del simbolo da internet.

[cathelbar]

Ritornando al problema di prima vi posto quello che ho fatto io, magari così è più semplice capire in cosa sto sbagliando. Allora, data la funzione della normale di Gauss, mi sono calcolata la derivata prima per poi sostituire, nell'equazione della f'(x), alla variabile x, una volta $\mu-\sigma$, per ottenere il coefficiente angolare della tangente 1, e poi $\mu+\sigma$, per ottenere quello della tangente 2. Qui vi ho riportato direttamente le equazioni delle due rette che mi sono ricavata sperando siano giuste.

T1→y-0,6=1/(σ^2 √2π)∙ e^((-1)/2) [x-(μ-σ)]
T2→y-0,6=-1/(σ^2 √2π)∙ e^((-1)/2) [x-(μ+σ)]

T1→y-0,6=x/(σ^2 √2π)∙ e^((-1)/2)-((μ-σ))/(σ^2 √2π)∙ e^((-1)/2)
T2→y-0,6=-x/(σ^2 √2π)∙ e^((-1)/2)+((μ+σ))/(σ^2 √2π)∙ e^((-1)/2)

Ponendo a sistema e risolvendo trovo che
y=1/(σ√2π)
Ma non credo che il risultato sia giusto perché, come dicevo su, se ad y=0,6 (che corrisponde al 60% del max=1) la larghezza del picco (distanza tra i flessi) è 2σ allora per avere una larghezza alla base di 4 σ, la γ (punto di incontro tra le tangenti nei punti di flesso) deve essere 1.2. Dove sbaglio? Help!!

[pilloeffe]

Ciao Kathe,

Benvenuta sul forum!

Rileggendo il titolo del tuo OP non ho potuto fare a meno di chiedermi cosa realmente stessi cercando, perché la larghezza del picco alla base ce l'hai già, ed è proprio $2\sigma $, $4\sigma $ o $6\sigma $ dipendentemente dalla probabilità desiderata. Mi spiego meglio. Nel caso gaussiano la funzione di ripartizione è la seguente:

$ F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}e^{- (t - \mu)^{2}/(2\sigma^{2})}dt $

In generale, possiamo dire che la probabilità che la variabile aleatoria $X \in [x_1,x_2]$ è data da $P(x_1 \le X \le x_2) =
F(x_2) - F(x_1)$. Introducendo la variabile aleatoria ridotta

$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $

la distribuzione normale diventa standardizzata. Si vede subito che risulta $\mu_{z} = 0$ e $\sigma_{z} = 1$, perciò la densità di probabilità gaussiana della variabile aleatoria ridotta $Z$ è la seguente:

$ p(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^{2}/2} $

e la corrispondente funzione di ripartizione è la seguente:

$ F(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z}e^{-t^2/2}dt $

Tenuto conto di tutto quanto detto finora, non è difficile verificare che si ha:

$ P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = P(-1 \le Z \le 1) = F(1) - F(-1) = 68,27\% $

$ P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) = P(-2 \le Z \le 2) = F(2) - F(-2) = 95,45\% $

$ P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) = P(-3 \le Z \le 3) = F(3) - F(-3) = 99,73\% $

Dunque la probabilità che il valore di una grandezza aleatoria $X$ da misurare cada in un intervallo di $\pm 3\sigma $ attorno al valore stimato $mu $ è del $99,73\%$: in tal caso si parla spesso di valore praticamente certo.

[cathelbar]

Ciao, innanzitutto grazie per avermi risposto. Ciò che sto cercando è dimostrare che le 2 tangenti nei punti di flesso intersechino l'asse delle ascisse nei punti μ-2σ e μ+2σ sicché la larghezza del picco alla base sia 4σ. Per farlo o devo trovare il punto di intersezione delle tangenti con l'asse x oppure devo trovare il punto y in cui le due rette tangenti si incontrano tra loro e questo punto è un punto al di sopra del massimo della funzione. In pratica vorrei cercare di dimostrare che la larghezza del picco alla base è 4σ col metodo delle tangenti.

[Lo_zio_Tom]

considerando la standardizzazione della normale, secondo cui

$(X-mu)/sigma=Z~ phi_(0;1)(z)$

e considerando che la gaussiana è simmetrica rispetto alla media possiamo guardare solo la parte $z>0$; a questo punto, semplicemente utilizzando la formula del fascio di rette che passano per un punto assegnato, otteniamo

$phi(z)=phi(1)+phi'(1)(z-1)$

essendo poi, evidentemente, $phi(1)=-phi'(1)$, abbiamo subito l'intersezione con l'asse z

$phi(z)=0 rarr z=2$

quindi, dato che la Normale Standard è funzione pari, le soluzioni sono $z=+-2$

Ritornando alla gaussiana originale troviamo, come ci si aspettava,

$x=mu+-2sigma$

Dopo i numerosi interventi ed aiuti (anzi svolgimento totale dell'esercizio) mi auguro che al prossimo topic tu sia in grado di scrivere le formule per bene[nota]le formule che hai scritto, nonostante avessi detto di aver capito il suggerimento di @Delirium, sono del tutto incomprensibili e quindi immagino che nessuno le abbia guardate[/nota] e postare il problema nella sezione corretta, che non è di sicuro "Analisi Superiore"

[cathelbar]

Grazie 1000 sia a Pilloeffe che a Tommik. Siete stati gentilissimi ed esaustivi con le vostre spiegazioni e grazie a voi sono riuscita a venirne a capo. Grazie a Pilloeffe ho capito che sbagliavo a ragionare in termini della variabile x e dei parametri μ e σ che, pur essendo costanti, variano a seconda della gaussiana a meno che non ci poniamo nel caso della gaussiana standardizzata in cui la media è 0 e la deviazione standard 1. Un grazie particolare a Tommik che ha colto nel segno la mia difficoltà ed è riuscito a farmi capire passo passo cosa fare. Io consideravo i punti di flesso come μ+/-σ invece col cambio di variabile, ponendo la derivata seconda uguale 0, veniva z^2-1=0 e quindi z=+/-1. Quindi quando mi hai scritto l'equazione della retta tangente ho subito colto che i punti di flesso erano +/-1 e che dovevo ragionare in wuella direzione. Bella anche l'intuizione che φ (1)=-φ'(1). . Ripeto sei stato chiarissimo. Cmq hai ragione quando dici che forse ho sbagliato sezione ma non sapevo quale fosse quella maggiormente adatta . Ti do ragione anche riguardo le formule. Infatti all'inizio non ero riuscita a postarle nonostante avessi trascritto i simbili della LaTex e devo ringraziare l'utente Delirium se bene o male sono riuscita ad aggiustare un po' la forma. In sostanza grazie a tutti e tre perché ognuno di voi quest'oggi mi ha insegnato qualcosa

Ps: stamattina ho provato a rifare l'esercizio utilizzando la variabile x e i parametri μ e σ (ieri sera l'ho fatto con z). Ho fatto lo stesso procedimento dell'altro giorno ma questa volta ho sfruttato l'idea datami da Tommik di utilizzare la tangente per un punto. Ho capito che il mio errore era considerare la y del punto di flesso come 0.6. Infatti avrei dovuta considerarla come f(μ+σ) per una tangente e f(μ-σ) per l'altra. Poi, sempre prendendo spunto da Tommik, ho osservato che f(μ+σ)= - f'(μ+σ)*σ e f(μ-σ)= f'(μ -σ)*σ. Grazie ancora di tutto.