Serie di Fourier
Buongiorno!
Situazione un po' strana, sto studiando all'estero e mi sono imbattuto in un esercizio per il quale non riesco a trovare soluzione.
Mi si chiede di trovare la serie di fourier della funzione $ f(x)=x^2 $ con $ x in [-pi;pi] $ e quindi di calcolare, utilizzando la serie trovata, la somma delle seguenti serie $ sum_(n = 1) ^(oo) 1/n^2 $ e $ sum_(n = 1) ^(oo) (-1)^(n+1)/n^2 $
Ora, so come arrivare alla serie trigonometrica ma come diamine trovo le somme delle serie? Ho cercato negli appunti e online non riesco a trovare qualcosa di simile.
Aiuto!
Situazione un po' strana, sto studiando all'estero e mi sono imbattuto in un esercizio per il quale non riesco a trovare soluzione.
Mi si chiede di trovare la serie di fourier della funzione $ f(x)=x^2 $ con $ x in [-pi;pi] $ e quindi di calcolare, utilizzando la serie trovata, la somma delle seguenti serie $ sum_(n = 1) ^(oo) 1/n^2 $ e $ sum_(n = 1) ^(oo) (-1)^(n+1)/n^2 $
Ora, so come arrivare alla serie trigonometrica ma come diamine trovo le somme delle serie? Ho cercato negli appunti e online non riesco a trovare qualcosa di simile.
Aiuto!
Risposte
sviluppando in serie otteniamo: $f(x)=x^2=pi^2 / 3 + 4 sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n / n^2 cos(nx)$
se ora prendiamo $x=pi$ abbiamo $pi^2 = pi^2 / 3 +4sum_(n=1)^(+oo)1/n^2$
per la seconda non riesco a raccapezzarmi invece: possibile che fosse $sum_n (-1)^n / (n^2)$?
perchè per far uscire la tua mi servirebbe una $x=pi/n$
se ora prendiamo $x=pi$ abbiamo $pi^2 = pi^2 / 3 +4sum_(n=1)^(+oo)1/n^2$
per la seconda non riesco a raccapezzarmi invece: possibile che fosse $sum_n (-1)^n / (n^2)$?
perchè per far uscire la tua mi servirebbe una $x=pi/n$
Per scrupolo ho ricontrollato... è giusta quella che ho scritto.
Non ho ben capito secondo quale criterio prendiamo $ x=pi $.
Se qualche buona anima mi spiega passaggio per passaggio che non so più dove sbattere la testa e son già tutti in ferie in uni
Non ho ben capito secondo quale criterio prendiamo $ x=pi $.
Se qualche buona anima mi spiega passaggio per passaggio che non so più dove sbattere la testa e son già tutti in ferie in uni
Ciao db8,
Benvenuto sul forum!
Lo sviluppo in serie di Fourier è quello già scritto da cooper:
$ x^2 = pi^2/ 3 + 4 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 cos(nx) $
Nel caso particolare $x = \pi $ si ha:
$\pi^2 = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 cos(n\pi) = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 (-1)^n = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 \implies $
$ \implies 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2 - pi^2/ 3 = (2pi^2)/ 3 \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Nel caso particolare $x = 0 $ invece si ha:
$ 0 = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 cos(0) = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 = pi^2/ 3 - 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} / n^2 \implies $
$\implies 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} / n^2 = pi^2/ 3 \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} / n^2 = \pi^2/12 $
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n^2} = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}}
\end{equation*}
Benvenuto sul forum!
Lo sviluppo in serie di Fourier è quello già scritto da cooper:
$ x^2 = pi^2/ 3 + 4 sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 cos(nx) $
Nel caso particolare $x = \pi $ si ha:
$\pi^2 = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 cos(n\pi) = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 (-1)^n = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 \implies $
$ \implies 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2 - pi^2/ 3 = (2pi^2)/ 3 \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Nel caso particolare $x = 0 $ invece si ha:
$ 0 = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 cos(0) = pi^2/ 3 + 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n / n^2 = pi^2/ 3 - 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} / n^2 \implies $
$\implies 4 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} / n^2 = pi^2/ 3 \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} / n^2 = \pi^2/12 $
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n^2} = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}}
\end{equation*}
Grazie a tutti!
Che fesso che sono! Non ho pensato di aggiungerci io il meno!! 
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