Esercizio equazioni differenziali

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luigi.saggiomo

11 gen 2019, 12:56

Salve, ho svolto questo esercizio più e più volte ma non mi trovo con il risultato. La traccia mi chiede di risolvere l'equazione differenziale usando il metodo della variazione delle costanti.

$ y''-3y'+2y=2e^(2x) $

Vi posto il mio procedimento.

Mi sono trovato l'omogenea associata e le sue soluzioni:

$ lambda ^2 -3lambda + 2=0 $ che ha come sol. $ y_0=C_1e^x+C_2e^(2x) $.

Ora devo trovare una soluzione del tipo: $ y_p=gamma_1e^x+gamma_2e^(2x) $ (1)

$ { ( gamma_1'e^x+gamma_2'e^(2x)=0 ),( gamma_1'e^x + 2gamma_2'e^(2x)=2e^(2x) ):} $

Ora applico Cramer per trovarmi le soluzioni:

$ detD=( ( e^x , e^(2x) ),( e^x , 2e^(2x) ) ) = e^(3x) $

$ gamma_1'= ( ( 0 , e^(2x) ),( 2e^(2x) , 2e^(2x) ) ) / e^(3x) = -2e^(x) $

$ gamma_2'= ( ( e^x , 0 ),( e^(x) , 2e^(2x) ) ) / e^(3x) = 2 $

Da qui poi mi trovo $ gamma_1$ e $gamma_2 $:

$ gamma_1=int -2e^x = -2e^x $

$ gamma_2=int 2dx = 2x $

Sostituendo in (1) ottengo quindi come soluzione particolare: $ y_p=-2e^(2x)+2xe^(2x) $

Per ottenere la soluzione, sommo le due soluzioni:

$ y=C_1e^x+C_2e^(2x) -2e^(2x)+2xe^(2x) $

Il risultato riportato sul libro invece è il seguente: $ y=C_1e^x+C_2e^(2x)+2xe^(2x) $

Che errori ho commesso? Grazie in anticipo per l'aiuto.