Consiglio su risoluzione integrale doppio
Buon pomeriggio a tutti, ho da poco iniziato a studiare la tipologia d'esercizio anticipata nel titolo e in uno dei tanti esercizi presenti nelle prove d'esame vecchie, sto trovando delle difficoltà nella risoluzione...
Di seguito il procedimento fino al punto che mi ha bloccato.
$int int (1/(sqrt(x^2 + y^2)))dx dy$
$D=(1<= x^2 + y^2 <= 4 ; y>x )$ e da qui $D=(-2<= x <= 0; sqrt(-x^2 +1) <= y <= sqrt(-x^2 +4))$
A questo punto:
$int_(-2)^(0) dx int_(sqrt(-x^2 +1))^(sqrt(-x^2 +4)) 1/(sqrt(x^2 + y^2)) dy$
e qui mi sono fermato... L'integrale in $dy$ come si svolge?
Grazie in anticipo
Di seguito il procedimento fino al punto che mi ha bloccato.
$int int (1/(sqrt(x^2 + y^2)))dx dy$
$D=(1<= x^2 + y^2 <= 4 ; y>x )$ e da qui $D=(-2<= x <= 0; sqrt(-x^2 +1) <= y <= sqrt(-x^2 +4))$
A questo punto:
$int_(-2)^(0) dx int_(sqrt(-x^2 +1))^(sqrt(-x^2 +4)) 1/(sqrt(x^2 + y^2)) dy$
e qui mi sono fermato... L'integrale in $dy$ come si svolge?
Grazie in anticipo
Risposte
Coordinate polari? le conosci?
"Anacleto13":
Coordinate polari? le conosci?
grazie per la risposta... si le ho viste anche in un altro corso anche se dovrei approfondire l'argomento sono sincero... dici che mi possono portare alla soluzione in maniera più facile?
se puoi/vuoi me lo puoi trasformare in coordinate polari e poi vedo io di fare il resto?
EDIT
Leggendo velocemente l'argomento dovrei avere...
$int 1/(sqrt((cos^2 vartheta + sen^2 vartheta ))) dvartheta $
$int 1 dvartheta = vartheta $
sbaglio?
"Marco Beta2":
[quote="Anacleto13"]Coordinate polari? le conosci?
grazie per la risposta... si le ho viste anche in un altro corso anche se dovrei approfondire l'argomento sono sincero... dici che mi possono portare alla soluzione in maniera più facile?
se puoi/vuoi me lo puoi trasformare in coordinate polari e poi vedo io di fare il resto?[/quote]
Beh si, diciamo che se l'integrale è stato costruito "apposta" per usare le coordinate polari sicuramente sarai in difficoltà se provi con il metodo "classico".
$ int int _D(1/(sqrt(x^2 + y^2)))dx dy $
$ int_{0}^{\pi} int_{1}^{2} d\rhod\theta =int_{0}^{\pi} d\theta int_{1}^{2} d\rho=\pi$
Dovrebbe essere così
"Anacleto13":
...
Grazie mille Anacleto per la disponibilità
Vorrei chiederti delle cose che non mi sono chiare sicuramente per via del fatto che non conosco bene l'argomento:
1) come hai scelto l'insieme di integrazione dell'integrale più interno?
2) arrivato a $pi$ l'esercizio è concluso o bisogno ritornare indietro? e vorrei sapere anche chi è $d$
3) tu hai sostituito $y=rho cos vartheta$ e $ x= rho sen vartheta$ ?
"Marco Beta2":
1) come hai scelto l'insieme di integrazione dell'integrale più interno?
Sostituisci $1\leqx^2+y^2\leq4 $ $\to$ $1\leq\rho^2\underbrace{(cos^2\theta+sin^2\theta)}_{=1}\leq4 $ $\to$ $1\leq\rho\leq2 $
"Marco Beta2":
2) arrivato a $pi$ l'esercizio è concluso o bisogno ritornare indietro? e vorrei sapere anche chi è $d$
no, una volta finito ottieni il risultato (non hai il risultato?). d indica solamente la variabile che sto integrando cioè $\rho$ e $\theta$
"Marco Beta2":
3) tu hai sostituito $y=rho cos vartheta$ e $ x= rho sen vartheta$ ?
Si, nel caso in cui usi le coordinate polari "classiche", il determinate della Jacobiana è $\rho$ negli altri casi va calcolata.
"Anacleto13":
...
Grazie mille, sei stato chiaro e gentilissimo... Purtroppo non ho i risultati, è una traccia d'esame e stavo provando a svolgere questo esercizio...
Quindi il risultato numerico di questo esercizio è "solo" $pi$?
Il dominio di integrazione è l'area in verde:
Se si ruota l'asse $y=x$ e le due circonferenze in modo da far coincidere $y=x$ con $x=0$, non cambia nulla.
Inoltre non è necessario applicare la rotazione alla funzione integranda perchè anch'essa è simmetrica rispetto a qualsiasi asse, quindi resta "identica".
Consegue che usare il dominio $D=(1<= x^2 + y^2 <= 4 ; y>x )$ o il dominio $D^{\prime}=(1<= x^2 + y^2 <= 4 ; x>0 )$ sia la stessa cosa.
Passando alle coordinate polari il dominio $D^{\prime}$ diventa $(1<=r <= 2 ; -pi/2
$ int_(-pi/2)^(pi/2) int_(1)^(2) 1/sqrt(r^2) rdr d theta =int_(-pi/2)^(pi/2) int_(1)^(2)dr d theta=pi $
P.S. Mi sono appena accorto che era $y>x$ e non viceversa. Il ragionamento non cambia ma il dominio nella foto è l'area opposta a quella verde. Doh!
Se si ruota l'asse $y=x$ e le due circonferenze in modo da far coincidere $y=x$ con $x=0$, non cambia nulla.
Inoltre non è necessario applicare la rotazione alla funzione integranda perchè anch'essa è simmetrica rispetto a qualsiasi asse, quindi resta "identica".
Consegue che usare il dominio $D=(1<= x^2 + y^2 <= 4 ; y>x )$ o il dominio $D^{\prime}=(1<= x^2 + y^2 <= 4 ; x>0 )$ sia la stessa cosa.
Passando alle coordinate polari il dominio $D^{\prime}$ diventa $(1<=r <= 2 ; -pi/2
$ int_(-pi/2)^(pi/2) int_(1)^(2) 1/sqrt(r^2) rdr d theta =int_(-pi/2)^(pi/2) int_(1)^(2)dr d theta=pi $
P.S. Mi sono appena accorto che era $y>x$ e non viceversa. Il ragionamento non cambia ma il dominio nella foto è l'area opposta a quella verde. Doh!
"Bokonon":
I...
Grazie per la risposta Bokonon
ma con la condizione $y>x$ il dominio non dovrebbe essere solo il secondo quadrante?
"Marco Beta2":
con la condizione $y>x$ il dominio non dovrebbe essere solo il secondo quadrante?
Quella condizione diventa x>0 dopo la rotazione. La parte verde sarà tutta a destra (e ricordati che ho invertito i domini in foto).
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