Asintoti funzione razionale fratta

MaRkTheGod
Salve a tutti!

Sto svolgendo un esercizio in cui chiede di trovare eventuali asintoti di questa funzione:

$f(x)=(x^2-2x)/(x^2-4)$

La funzione, ovviamente non è definita in -2 e 2.

Il risultato del limite per x che tende a 2 viene fuori un $0/0$ che è una forma indeterminata, fin qui ok.

Scompongo:

$(x ( x - 2 )) / ((x+2) (x-2))$

Semplifico, quindi:

$(x)/(x+2)$

Ebbene, 1° dubbio.

Facendo limite per x che tende a 2 della funzione scomposta, viene fuori un $2/4$ che diventa $1/2$, ed è il punto di discontinuità?

Grazie mille anticipatamente a tutti.

Risposte
gugo82
"MaRkTheGod":
Sto svolgendo un esercizio dove mi chiede [...]

"Un esercizio dove mi chiede"???

In cui... :lol:

"MaRkTheGod":
[...] di trovare eventuali asintoti di questa funzione:

$f(x)=(x^2-2x)/(x^2-2)$

Il dominio, ovviamente non è definito in -2 e 2.

"Definito" non è un aggettivo riferibile a "dominio", casomai a "funzione".

E poi "ovviamente" manco per idea, dato che $+-2 in "Dom" f$.
Sono altri i punti da escludere.

"MaRkTheGod":
Facendo il limite per x che tende a 2 e -2 viene fuori un $0/0$ che è una forma indeterminata, fin qui ok.

Ma nemmeno per idea.
Infatti $f(2)=(4 -4)/(4-2)=0$, $f(-2)=(4+4)/(4-2)=4$.

"MaRkTheGod":
Ovviamente ci sono due strade:

1) Scompongo

2) Mi avvalgo del Teorema di de l'Hopital.

"Ovviamente"?
Solo due strade?

"MaRkTheGod":
Li ho provati entrambi, e dunque:

Scompongo:

$((x)) ( x - 2 ) / (x+2)/(x-2) $

Certo che se continui a commettere errori da primo superiore non ne esci... O svolgi gli esercizi con attenzione, oppure lasci perdere.

"MaRkTheGod":
Semplifico, quindi:

$(x)/(x+2)$

Ebbene, 1° dubbio.

Facendo limite per x che tende a -2 e 2 della funzione scomposta, viene fuori un $2/4$ che diventa $1/2$, ed è il punto di discontinuità?

A parte problemi di composizione della frase (che non vuol dire nulla in italiano corrente) ed a parte i calcoli svolti male in precedenza, qual è la definizione di punto di discontinuità?

"MaRkTheGod":
Inoltre viene fuori un $-2/0$, che questo limite tende a + o - infinito. (Precisamente limite per x che tende a -2, quindi possiamo affermare che questa funzione ha un asintoto verticale in $x = - 2 $.

Ho provato anche con de l'Hopital [...]

Beh, ma se sbagli tutti i conti dall'inizio...

MaRkTheGod
Ho sbagliato a trascrivere: il denominatore della funzione non è $x^2-2$ bensì $x^2-4$

gugo82
Ok.
La prossima volta fa più attenzione e ricordati le direttive presenti in questo avviso.

Ad ogni buon conto, la funzione razionale:
\[
f(x) := \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}
\]
è molto semplice da studiare. Infatti, nel dominio $"Dom" f = RR \setminus \{ +-2\}$ risulta:
\[
f(x) = \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x+2}
\]
ergo il grafico di $f$ è un'iperbole traslata. In paticolare, il grafico di $f$ ha come asintoti le rette di equazioni $y=1$ e $x=-2$ che si trovano in maniera immediata sfruttando la Geometria Analitica delle superiori.

Ponendo di non ricordare gli argomenti di Geometria Analitica, si può procedere nel modo solito dell'Analisi: dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \pm \infty} f(x) &= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{x}{x+2} = 1\\
\lim_{x\to -2^\pm} f(x) &= \lim_{x\to -2^\pm} \frac{x}{x+2} = \mp \infty
\end{split}
\]
le rette di equazioni $y=1$ ed $x=-2$ sono, rispettivamente, asintoto orizzontale ed asintoto veritcale (a sinistra in altro e a destra in basso) per il grafico di $f$.

MaRkTheGod
Perfetto grazie!

Ultima cosa: il limite per x che tende a 2 (che riconduce alla forma indeterminata $0/0$) ha come risultato $1/2$. Cosa rappresenterebbe?

gugo82
Secondo te?

MaRkTheGod
Punto di discontinuità?!

gugo82
Dipende... Io non lo chiamerei così, ad esempio, perché la definizione che ho io di "punto di discontinuità" non me lo consente.

Tu quale definizione di "punto di discontinuità" usi?

dissonance
[ot]
dove mi chiede

In italiano è sbagliato, ma lo sento molto spesso. Secondo me è un francesismo. Infatti, "où" in francese è sia un pronome relativo sia un avverbio di luogo.

E adesso che ho fatto questo commento mi sento un piccolo Umberto Eco. :-)[/ot]

gugo82
"dissonance":
[ot]
dove mi chiede

In italiano è sbagliato, ma lo sento molto spesso. Secondo me è un francesismo. Infatti, "où" in francese è sia un pronome relativo sia un avverbio di luogo.

E adesso che ho fatto questo commento mi sento un piccolo Umberto Eco. :-)[/ot]

[ot]Francesismo, già.
Anche io in napoletano ho buatta (contenitore di latta dalla forma bassa e larga; per estensione, donna tarchiata) mutuato dal francese “boîte”, ma non lo uso quando scrivo in italiano... :lol:[/ot]

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