Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Sia $(X,||.||)$ uno spazio di Banach.
Un sottoinsieme $A sub X$ è detto relativamente compatto se la chiusura $bar A$ di $A$ è compatta.
$A$ è detto totalmente limitato se $AA \epsilon >0, EE x_1, x_2, ..., x_N \in A$ tali che $A sub uuu_{i=1}^N B(x_i, \epsilon)$.
Dove per $x \in X, r>0$,l'insieme $B(x,r) :={y \in X | ||y-x||<r}$ rappresenta la palla unitaria centrata in x con raggio r.
Mostrare che un sottoinsieme $A sub X$ è relativamente compatto se e solo se $A$ è ...
Allora ragazzi, il problema è il seguente:
data $sum((-1)^n* ((n+1)/(n^2))*x^n)$
calcolare il ragio di convergenza [-R,R]
Svolgimento:
$\lim_{n \to \infty}(root(n)(1^n * ((n+1)/(n^2))))$
CASO 1
$\lim_{n \to \infty}((1^n * (n+1)/(n^2))^(1/n))$ l'esponente tende a zero, quindi il limite tende a 1
CASO 2
$\lim_{n \to \infty}( 1* ((root(n)(n)+root(n)(1))/(root(n)(n^2)))$
$root(n)(n) -> 1$
$root(n)(1) -> 1$
$root(n)(n^2)->1$
e quindi il limite tende a 2.
Come è possibile che si ottengano due risultati diversi cambiando solo la procedura di calcolo?????
Poi vabeh, una volta calcolato ...
Sono disperato....devo consegnare un elaborato e non ci capisco niente con questo metodo numerico chi mi aiuta??
Devo integrare un'equazione differenziale per un sistema vibrante (ma adesso per capire come funzione ci possiamo anche basare sull'equazione di un pendolo semplice senza smorzamento)!
Il problema è che la soluzione numerica diverge tantissimo dalla soluzione analitica e non so quanto sia giusto!Cioè se prendo degli step di calcolo di un centesimo di secondo...gia dopo mezzo ...
Ciao a tutti. Ho bisogno di un aiutino per questo esercizio.
La funzione $f(x,y)=1/(1-xy)$ è integrabile o sommabile in $[0,1]$ × $[0,1]=Q$?
Poichè in $Q$: $0<=xy<=1$ posso scrivere: $f(x,y)=sum_0^{infty}(xy)^n$
La successione delle somme parziali $s_m(x,y)$ di quella serie è una successione di funzioni misurabili e sommabili, crescenti e non negative (sempre su Q). Quindi per convergenza monotona si ha:
$lim_{m to infty} int_Qs_m(x,y)dxdy=int_Q(lim_{m to infty} s_m(x,y))dxdy=int_Qf(x,y)dxdy$.
Quindi f è integrabile.
Poi ...
trovo difficoltà a determinare la trasformata di
$x(t)=1/(sqrt(2pi))e^((-t^2)/2)$
il testo suggerisce di usare la proprietà di derivazione nel dominio del tempo e della frequenza...come faccio?
Ciao ragazzi, ho questo problema:
$sum((sin(nx))/(2^n)+(cos(nx))/(n^2))$
domande:
i) Converge totalmente?
ii)Converge semplicemente?
iii) Si può garantire che la somma della serie è continua?
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Dunque, io cerco di dimostrare la convergenza totale ma studiando il comportamento di $(sin(nx)/(2^n))$ vedo che non è rispettato il criterio di convergenza per $1/(2^n)$ che al contrario diverge. Quindi il primo fattore della somma converge ma non totalmente.
Il secondo invece converge totalmente ...
Salve a tutti.
vi pongo tre problemini, 2 dei quali non sono riuscito a risolvere ed 1 l'ho risoloto ma in maniera tutt'altro che elegante. Sono tutti e tre sviluppi in serie di MacLaurin.
Inizio da quello che ho risolto:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}$
Dunque io ho fatto così:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}=x^3+x^2+x+1+\frac{3}{x-1}=x^3+x^2+x+1-\frac{3}{1-x}$
che posso sviluppare così:
$x^3+x^2+x+1-\frac{3}{1-x}= x^3+x^2+x+1-3( \sum _{n=0}^{\infty } x^n) $
poi mi sono inventato una successione per far entrare x^3+x^2+x+1 nel simbolo di sommatoria ed ho ottenuto questo:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{2 n-7-|2 n-7|}{2(2 n-7)}-3) x^n$
Esiste qualche metodo ...
Credo che sia semplice, ma anche qui è un giorno intero che ci rifletto e non si sblocca nulla...
Vi prego ho abbastanza urgenza, domani ho l'orale di metà semestre e so che ha fatto questa domanda... io non so rispondere!!
Siamo nello spazio $l^1 = { (t_n) \in RR \mbox{ tali che } sum_{n = 1}^ oo |t_n|<oo}$ e dobbiamo dimostrare che per ogni $u \in l^1$
$ lim_{n \rightarrow oo} ||u||_p = ||u||_oo$
con $||u||_p = (sum_{n = 1}^ oo |t_n|^p)^(1/p)$ e $||u||_oo =\mbox{sup}_{n \in NN} |t_n|$.
Chi mi aiuta?!
Sia $1<=p<oo, (f_n) \in L^p([0,1]), f:[0,1]\rightarrow RR$. Si provi o si trovi un controesempio per le seguenti proposizioni:
(i) Se $(f_n)$ converge puntualmente a $f$, allora converge a $f$ anche in $L^p([0,1])$, cioè $||f_n-f||_p\rightarrow 0$ per $n \rightarrow oo$
(ii) Se $(f_n)$ converge uniformemente a $f$, allora converge a $f$ anche in $L^p([0,1])$
(iii) $(f_n)$ converge a $f$ in $L^p([0,1])$, allora converge ...
Dovrei dimostrare che:
$L^(-1)[F1(s)F2(s)] = \int_(0^+)^(\infty)f1(\tau)f2(t-\tau)d\tau$
dove $f1(t) = L^(-1)[F1(s)]$, $f2(t) = L^(-1)[F2(s)]$
Si tratta della proprietà di convoluzione.
Mi potete aiutare?
Grazie!
Ho un sistema LTI descritto dalla seguente equazione:
$(d^2v(t))/(dt^2)+(dv(t))/(dt)+v(t)=(du(t))/(dt)-u(t)$
devo determinare la risposta complessiva partendo dalle seguenti condizioni inziali: $v(t)=3$, $(dv(t))/(dt)=0$, $(d^2v(t))/(dt^2)=2$, $u(t)=e^(-t)(t)$
Supponendo di doverla risolvere usando la trasformata di Laplace, come mi devo comportare?
I miei dubbi stanno nelle condizioni iniziali, avendo sopratutto quel $(d^2v(t))/(dt^2)=2$. Per il resto anche se c'è t, penso si intendano valutate in 0.
Grazie
Stavo leggendo un trattato sulla vita di tartaglia e tutte le vicissitudini che ha dovuto affrontare sulla questione della risoluzione dell'equazione cubica, e, mentre leggevo ho trovato una formula che dice di porre x= z-b/3 dove b è il coefficiente della x di secondo grado. Ho provato a porre questa condizione ma ritorna sempre un equazione di 3° grado. La cosa che vi domand è...la formula è incompleta? o va applicata solo ad un certo numero di equazioni cubiche?
Ps
la fonte è Wikipedia ...
Salve! Potreste dirmi qual'è il carattere delle serie seguenti?
$\sum_{n=1}^{+\infty} (sin n + cos n)/(n^3+sqrt(n))$ (perchè?)
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((-1)^n*sin n)/(n^2+1)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (1/(n+1))*log(1+1/n)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)/(n^3+n+sqrt(n))$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n/(n^2+sin n)$
Grazie!
dire che il mio prof di algebra lineare spiega da culo è riduttivo...ha cercato di spiegarci come si lega il prodotto interno tra due funzioni con la serie di Fourier e non ne ho capito na mazza:
citando quello che ha detto il tema si presenta nel seguente modo: ogni funzione periodica e continua in un intervallo $[0,2pi]$ può essere espressa come una serie trigonometrica, ad esempio:
$y(x) = a_0+a_1sen(x)+a_2sen(2x)+b_1cos(x)+b_2cos(2x)+....$
definiamo il prodotto interno tra due funzioni $f$ e ...
Salve a tutti, avrei un consiglio da chiedervi.... come dovrei risolvere questo esercizio? :
stabilire se la funzione f(x,y) = |x| log(1+y) è differenziabile nel punto (0,0)
dovrei procedere con il teorema del differenziale (vedendo quindi se le derivate prime sono continue in (0,0) ) o applicare la definizione e verificare che f(x,y) sia derivabile in (0,0) per poi passare al limite per (h,k)->(0,0) di [f(x+h,y+k)-f(x,y)-fx(x,y)h-fy(x,y)k]/(h^2+k^2)^1/2 .....
sono un po confuso sul da ...
Sapete dove posso trovare una dimostrazione o una spiegazione del perchè i biolomorfismi(funzioni invertibili olomorfe con inversa olomorfa) della retta proiettiva complessa $Aut(\mathbb{P}(\mathbb{C})^1$ sono solo le trasformazioni lineari fratte e che i biolomorfismi di $\mathbb{C}$ sono le applicazioni lineari
Ciao,
domanda sul resto dell'interpolazione $r(x) = f(x) - p_n (x)$
È definito così: $r(x) = pi_n (x) (f^(n+1) (epsilon))/((n+1)!)$ con $pi_n (x) = ( x-x_0 )*( x-x_1 )*...*( x-x_n )$
Prendiamo l'interpolazione lineare, quindi abbiamo i nodi $x_0 , x_1$.
Allora $r(x)=( x - x_0 )*( x - x_1 )*(f''(epsilon))/2$
Ora si vuole trovare il valore MASSIMO in modulo e quindi si fa così: $max_(x in ( x_0 , x_1 )) |( x - x_0 )*( x - x_1 )| = (| x_1 - x_0 |^2)/4$
DOMANDA 1: Perché dà questo risultato il massimo di quella moltiplicazione???
Poi bisogna aggiungere il massimo del valore assoluto della doppia derivata di $f$, ...
Ho l'esame in vista...vorrei essere sicura!!!
Assumiamo che $a_n$$!=$$0$, $b_n$, $n$$in$$NN$ siano due successioni di numeri reali tali che esista il $lim$$(n->oo)$$a_n$$b_n$$=$$l$ $in$ $RR$ e che NON esista il $lim$$(n->oo)$$b_n$.
Cosa si può concludere sul ...
Scrivere una funzione φ iniettiva da Z in PN (dove con PN si indica l’insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di N, l'insieme dei numeri naturali). Dire se tale funzione può essere suriettiva.
Qualche idea sulla soluzione, please?
Salve qualcuno sa come si applica la risoluzione tramite serie all'equazione integrale $f(x) -\lambda \int_a^b \{K_s(x,y)+K_{\varepsilon}(x,y)\}f(y)dy=g(x)$ con $\lambda$ e $g$ noti, $K_s=\sum_{i=1}^N p_i(x) q_i(y)$ con $p_i$ e $q_i$ noti e con $ max _{(x,y) \in[a,b]^2} |K_{\varepsilon}(x,y)| <\varepsilon$ le funzioni in questione tutte continue..grazie mille
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