Convergenza-convergenza rispetto alla norma di $L^p$
Sia $1<=p
(ii) Se $(f_n)$ converge uniformemente a $f$, allora converge a $f$ anche in $L^p([0,1])$
(iii) $(f_n)$ converge a $f$ in $L^p([0,1])$, allora converge a $f$ uniformemente.
Nota: La norma in $L^p$ è definita da $||f|| = (int_0^1 |f|^pd\lambda)^(1/p)$.
(ii) Se $(f_n)$ converge uniformemente a $f$, allora converge a $f$ anche in $L^p([0,1])$
(iii) $(f_n)$ converge a $f$ in $L^p([0,1])$, allora converge a $f$ uniformemente.
Nota: La norma in $L^p$ è definita da $||f|| = (int_0^1 |f|^pd\lambda)^(1/p)$.
Risposte
Per ora penso di aver correttamente dimostrato solo la (ii):
$(f_n)$ converge uniformemente a $f$ se $AA \epsilon>0, EE N \in NN, \mbox{tale che} \mbox{ sup}_{x\in [0,1]} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$,
quindi: $||f_n-f||_p = (int_0^1 |f_n-f|^p d\lambda)^(1/p)<=(int_0^1 \epsilon^p d\lambda)^(1/p)= (\lambda([0,1])*\epsilon^p)^(1/p) = \epsilon$
$\Rightarrow ||f_n-f||_p \rightarrow 0$.
$(f_n)$ converge uniformemente a $f$ se $AA \epsilon>0, EE N \in NN, \mbox{tale che} \mbox{ sup}_{x\in [0,1]} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$,
quindi: $||f_n-f||_p = (int_0^1 |f_n-f|^p d\lambda)^(1/p)<=(int_0^1 \epsilon^p d\lambda)^(1/p)= (\lambda([0,1])*\epsilon^p)^(1/p) = \epsilon$
$\Rightarrow ||f_n-f||_p \rightarrow 0$.
(iii) il controesempio è: $\{ x^k \}_k$ su $[0,1]$.
Ci stavo pensando anch'io a un controesempio ma non mi veniva... 
La prima è falsa!!!
EDIT: Oggi non avevo detto abbastanza cavolate.](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
La prima è falsa!!!
EDIT: Oggi non avevo detto abbastanza cavolate.
La (i) è falsa:
$ f_n(t) = {(n^2 t \qquad t \in [0,1/n]),(2n-n^2 t \qquad t \in [1/n,2/n]),(0 \qquad t > 2/n):} $
converge puntualmente a $0$ in ogni punto, ma ha integrale sempre pari a $1$....
$ f_n(t) = {(n^2 t \qquad t \in [0,1/n]),(2n-n^2 t \qquad t \in [1/n,2/n]),(0 \qquad t > 2/n):} $
converge puntualmente a $0$ in ogni punto, ma ha integrale sempre pari a $1$....
Grandioso mi sono inventato un'ipotesi in più, chiedo scusa!!! 
Stavo per scrivere anche io lo stesso controesempio per la (iii)!! 
Però non riesco a capire il controesempio per la (i), in quanto non riesco a vedere la convergenza puntuale a 0 della successione... (amel non ho fatto in tempo a leggere cosa avevi scritto, sicuro di esserti sbagliato?)
Confermate la mia dimostrazione del (ii)?
Grazie per l'aiuto!
Però non riesco a capire il controesempio per la (i), in quanto non riesco a vedere la convergenza puntuale a 0 della successione... (amel non ho fatto in tempo a leggere cosa avevi scritto, sicuro di esserti sbagliato?)
Confermate la mia dimostrazione del (ii)?
Grazie per l'aiuto!
Confermo, la (ii) direi che è giusta.
Per la (i) per ogni $t>0$ fissato esiste $n$ tale che $t>2/n$, quindi $f_k(t)=0$, per ogni $k>n$, quindi $f_k(t)$ converge a $0$. Quindi $f_k$ converge puntualmente su $(0,1]$. Inoltre $f_k(0)=0$ per ogni $k$...
Lo so è allucinante: sembra che la "massa" di $f_k$ "scompaia nel nulla"...
Per la (i) per ogni $t>0$ fissato esiste $n$ tale che $t>2/n$, quindi $f_k(t)=0$, per ogni $k>n$, quindi $f_k(t)$ converge a $0$. Quindi $f_k$ converge puntualmente su $(0,1]$. Inoltre $f_k(0)=0$ per ogni $k$...
Lo so è allucinante: sembra che la "massa" di $f_k$ "scompaia nel nulla"...
Per la cronaca: affinchè la i sia giusta bisogna, anche aggiungere che $|f|<=|g|$ q.d. su $[0,1]$ (in tal caso si può anche indebolire con $f_n->f$ puntualmente q.d. su [0,1]): è il teorema della convergenza dominata in $L^p$. Chiedo scusa per avere creato confusione. 
Grazie david_e per la spiegazione, ti vorrei chiedere solo un'ultima cosa: è chiaro che quando hai definito le tue $(f_n)$ nel controesempio di prima, hai cercato delle funzioni continue (altrimente potevamo prendere anche $f_n(t) = {(n^2t, t \in [0,1/n]), (0, t>1/n)$ e il tuo ragionamento funzionava allo stesso modo (con $||f_n||_p=1/2$).
La mia domanda è questa: è necessario introdurre la continuità, dato che siamo in $L^p$, insieme (quoziente) delle funzioni misurabili?
Scusa se magari risulta una domanda stupida, ma ho ripreso questi argomenti da poco, dopo almeno un paio di anni che non li toccavo più... perciò devo ancora "carburare"!! :)
Grazie
La mia domanda è questa: è necessario introdurre la continuità, dato che siamo in $L^p$, insieme (quoziente) delle funzioni misurabili?
Scusa se magari risulta una domanda stupida, ma ho ripreso questi argomenti da poco, dopo almeno un paio di anni che non li toccavo più... perciò devo ancora "carburare"!! :)
Grazie
Le ho prese continue perche' irrealta' l'esempio e' una modifica di un controesempio (famoso) sulla convergenza puntuale-uniforme, in un ambito, quindi, in cui ovviamente se non c'e' la continuita' gli esempi sono triviali... non ci sono altri motivi. (Comunque anche quelle che hai indicato tu sono misurabili e in $L^p$)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo