Sviluppi in serie di maclaurin
Salve a tutti.
vi pongo tre problemini, 2 dei quali non sono riuscito a risolvere ed 1 l'ho risoloto ma in maniera tutt'altro che elegante. Sono tutti e tre sviluppi in serie di MacLaurin.
Inizio da quello che ho risolto:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}$
Dunque io ho fatto così:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}=x^3+x^2+x+1+\frac{3}{x-1}=x^3+x^2+x+1-\frac{3}{1-x}$
che posso sviluppare così:
$x^3+x^2+x+1-\frac{3}{1-x}= x^3+x^2+x+1-3( \sum _{n=0}^{\infty } x^n) $
poi mi sono inventato una successione per far entrare x^3+x^2+x+1 nel simbolo di sommatoria ed ho ottenuto questo:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{2 n-7-|2 n-7|}{2(2 n-7)}-3) x^n$
Esiste qualche metodo meno artificioso???
le altre 2 serie che non riesco proprio a sviluppare sono:
$\frac{x+1}{x-5}$ Questo non ho problema a svilupparlo in serie di taylor ma non riesco ad imporre il punto iniziale uguale a zero in modo che diventi serie ti maclaurin come richiede l'esercizio. Il risultato che ottengo è il seguente $\sum _{n=0}^{\infty }(-6)(x-4)^(n+1)
$\frac{1}{(x+2)(x-5)}$ Questa al massimo riesco a svilupparla nella somma due serie di taylor così: $\sum _{n=0}^{\infty }7^(-1)((x+3)^n-(x-4)^n)
Come posso fare a svilupparla in serie di maclaurin??
Grazie mille, spero possiate aiutarmi.
Ciaoo
vi pongo tre problemini, 2 dei quali non sono riuscito a risolvere ed 1 l'ho risoloto ma in maniera tutt'altro che elegante. Sono tutti e tre sviluppi in serie di MacLaurin.
Inizio da quello che ho risolto:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}$
Dunque io ho fatto così:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}=x^3+x^2+x+1+\frac{3}{x-1}=x^3+x^2+x+1-\frac{3}{1-x}$
che posso sviluppare così:
$x^3+x^2+x+1-\frac{3}{1-x}= x^3+x^2+x+1-3( \sum _{n=0}^{\infty } x^n) $
poi mi sono inventato una successione per far entrare x^3+x^2+x+1 nel simbolo di sommatoria ed ho ottenuto questo:
$\frac{(x^4+2)}{x-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{2 n-7-|2 n-7|}{2(2 n-7)}-3) x^n$
Esiste qualche metodo meno artificioso???
le altre 2 serie che non riesco proprio a sviluppare sono:
$\frac{x+1}{x-5}$ Questo non ho problema a svilupparlo in serie di taylor ma non riesco ad imporre il punto iniziale uguale a zero in modo che diventi serie ti maclaurin come richiede l'esercizio. Il risultato che ottengo è il seguente $\sum _{n=0}^{\infty }(-6)(x-4)^(n+1)
$\frac{1}{(x+2)(x-5)}$ Questa al massimo riesco a svilupparla nella somma due serie di taylor così: $\sum _{n=0}^{\infty }7^(-1)((x+3)^n-(x-4)^n)
Come posso fare a svilupparla in serie di maclaurin??
Grazie mille, spero possiate aiutarmi.
Ciaoo
Risposte
La prima mi sembra esatta (anche se potevi risparmiarti la fatica di determinare esattamente i coefficienti, secondo me).
Per le altre tieni presente che:
$(x+1)/(x-5)=-1/5*(x+1)/(1-x/5)$
$1/((x+2)*(x-5))=1/7*[1/(x-5)-1/(x+2)]=-1/7*[1/5*1/(1-x/5)+1/2*1/(1-(-x/2))]$
e ricorda la serie geometrica (come hai brillantemente fatto prima).
Per le altre tieni presente che:
$(x+1)/(x-5)=-1/5*(x+1)/(1-x/5)$
$1/((x+2)*(x-5))=1/7*[1/(x-5)-1/(x+2)]=-1/7*[1/5*1/(1-x/5)+1/2*1/(1-(-x/2))]$
e ricorda la serie geometrica (come hai brillantemente fatto prima).
Intanto grazie mille per l'aiuto!
Vorrei chiederti una cosa:
Cosa intendi per "potevi risparmiarti la fatica di determinare esattamente i coefficienti" ?
lasciarla in forma implicita come $x^3+x^2+x^1+1+3 sum_(n=0)^(infty)x^n $ ?
Vorrei chiederti una cosa:
Cosa intendi per "potevi risparmiarti la fatica di determinare esattamente i coefficienti" ?
lasciarla in forma implicita come $x^3+x^2+x^1+1+3 sum_(n=0)^(infty)x^n $ ?
"lars":
Intanto grazie mille per l'aiuto!
Vorrei chiederti una cosa:
Cosa intendi per "potevi risparmiarti la fatica di determinare esattamente i coefficienti" ?
lasciarla in forma implicita come $x^3+x^2+x^1+1-3 sum_(n=0)^(infty)x^n $ ?
Per me bastava porre $a_n=\{(-2, " per " n le 3), (-3, " per "n>3):}$ e scrivere $\sum a_n*x^n$.
Non ti interessa più di tanto una espressione "esplicita" dei coefficienti mentre è buono sapere che la successione dei coefficienti è definitivamente costante (ad esempio ciò ti aiuta a determinare facilmente il raggio di convergenza)... Però è questione di gusti.
Grazie mille Gugo82.
Mi metto subito a fare altri esercizi.
Mi metto subito a fare altri esercizi.
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