Funzione integrabili-sommabile
Ciao a tutti. Ho bisogno di un aiutino per questo esercizio.
La funzione $f(x,y)=1/(1-xy)$ è integrabile o sommabile in $[0,1]$ × $[0,1]=Q$?
Poichè in $Q$: $0<=xy<=1$ posso scrivere: $f(x,y)=sum_0^{infty}(xy)^n$
La successione delle somme parziali $s_m(x,y)$ di quella serie è una successione di funzioni misurabili e sommabili, crescenti e non negative (sempre su Q). Quindi per convergenza monotona si ha:
$lim_{m to infty} int_Qs_m(x,y)dxdy=int_Q(lim_{m to infty} s_m(x,y))dxdy=int_Qf(x,y)dxdy$.
Quindi f è integrabile.
Poi come continuo per quanto riguarda la sommabilità?
Nota: per sommabile intendo che ha integrale finito.
Grazie.
La funzione $f(x,y)=1/(1-xy)$ è integrabile o sommabile in $[0,1]$ × $[0,1]=Q$?
Poichè in $Q$: $0<=xy<=1$ posso scrivere: $f(x,y)=sum_0^{infty}(xy)^n$
La successione delle somme parziali $s_m(x,y)$ di quella serie è una successione di funzioni misurabili e sommabili, crescenti e non negative (sempre su Q). Quindi per convergenza monotona si ha:
$lim_{m to infty} int_Qs_m(x,y)dxdy=int_Q(lim_{m to infty} s_m(x,y))dxdy=int_Qf(x,y)dxdy$.
Quindi f è integrabile.
Poi come continuo per quanto riguarda la sommabilità?
Nota: per sommabile intendo che ha integrale finito.
Grazie.
Risposte
Se prendo Q come insieme normale posso integrare una variabile alla volta quindi:
$int_Q(xy)^ndxdy=int_0^1x^n(int_0^1y^ndy)dx=1/(n+1)^2$
Allora ottengo $int_Qfdxdy=sum_0^{infty}int_Q(xy)^ndxdy=sum_0^{infty}1/(n+1)^2
$int_Q(xy)^ndxdy=int_0^1x^n(int_0^1y^ndy)dx=1/(n+1)^2$
Allora ottengo $int_Qfdxdy=sum_0^{infty}int_Q(xy)^ndxdy=sum_0^{infty}1/(n+1)^2
Si si secondo me va bene 
Motiva il fatto che puoi integrare una variabile alla volta (Fubini!) e poi secondo me è perfetto...
Motiva il fatto che puoi integrare una variabile alla volta (Fubini!) e poi secondo me è perfetto...
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