Convergenza totale della serie
Ciao ragazzi, ho questo problema:
$sum((sin(nx))/(2^n)+(cos(nx))/(n^2))$
domande:
i) Converge totalmente?
ii)Converge semplicemente?
iii) Si può garantire che la somma della serie è continua?
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Dunque, io cerco di dimostrare la convergenza totale ma studiando il comportamento di $(sin(nx)/(2^n))$ vedo che non è rispettato il criterio di convergenza per $1/(2^n)$ che al contrario diverge. Quindi il primo fattore della somma converge ma non totalmente.
Il secondo invece converge totalmente in quanto rispetta tutte le condizioni.
Ora la mia domanda è:
Se uno dei fattori converge semplicemente e l'altro totalmente, la somma converge totalmente o solo semplicemente?
$sum((sin(nx))/(2^n)+(cos(nx))/(n^2))$
domande:
i) Converge totalmente?
ii)Converge semplicemente?
iii) Si può garantire che la somma della serie è continua?
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Dunque, io cerco di dimostrare la convergenza totale ma studiando il comportamento di $(sin(nx)/(2^n))$ vedo che non è rispettato il criterio di convergenza per $1/(2^n)$ che al contrario diverge. Quindi il primo fattore della somma converge ma non totalmente.
Il secondo invece converge totalmente in quanto rispetta tutte le condizioni.
Ora la mia domanda è:
Se uno dei fattori converge semplicemente e l'altro totalmente, la somma converge totalmente o solo semplicemente?
Risposte
$AA n in NN, AA x in RR, quad |(sin nx)/2^n+(cos nx)/n^2|le 1/2^n+1/n^2le 2/n^2$... e ho detto tutto.
Mica tanto detto tutto.
Affinchè la serie iniziale converga totalmente DEVE essere che $sum(a_n)$ converga. Con $a_n = 1/(2^n)$ mi risulta che $sum(1/(2^n))$ diverge. e quindi non risulta verificata la convergenza totale.
Tu ti sei limitato a riscrivere quello che ho detto io.
#rettifica: Mi vuoi dire che come $a_n$ devo considerare non solo $1/(2^n)$ ma l'intera somma? non devo quindi studiare il comportamento dei fattori separati?
Affinchè la serie iniziale converga totalmente DEVE essere che $sum(a_n)$ converga. Con $a_n = 1/(2^n)$ mi risulta che $sum(1/(2^n))$ diverge. e quindi non risulta verificata la convergenza totale.
Tu ti sei limitato a riscrivere quello che ho detto io.
#rettifica: Mi vuoi dire che come $a_n$ devo considerare non solo $1/(2^n)$ ma l'intera somma? non devo quindi studiare il comportamento dei fattori separati?
no, Gugo82 aveva veramente detto tutto
la serie che tu consideri è convergente (serie geometrica di ragione 1/2)
la serie che tu consideri è convergente (serie geometrica di ragione 1/2)
Non dubito affatto che non mi abbia detto tutto. Però ho bisogno di una spiegazione un po' piu dettagliata.
Affinchè la serie converga totalmente deve essere verificato che la funzione sia minore o uguale dei termini in n;
Ma deve anche essere verificato che la serie dei termini in n sia convergente.
o mi sbaglio?
Affinchè la serie converga totalmente deve essere verificato che la funzione sia minore o uguale dei termini in n;
Ma deve anche essere verificato che la serie dei termini in n sia convergente.
o mi sbaglio?
la serie che Gugo82 ha trovato come maggiorante è la serie armonica generalizzata (di esponente 2) che è convergente, come mostra (ad esempio) il criterio dell'ordine di infinitesimo
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