Analisi matematica di base

Siano \( f,g \in C^1(\mathbb{R}^n ) \) e \( \Sigma_g := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : g(\mathbf{x})\geq 0 \} \) Supponiamo che \( \nabla g \neq 0 \) quando \( g= 0 \). Supponiamo che \( f \) ammette un minimo locale su \( \Sigma_g \) e notiamo \( x^* \in \Sigma_g \) il punto dove è raggiunto questo minimo locale. Per tutti gli \( (\mathbf{x},\lambda) \in \mathbb{R}^{n+1} \) definiamo \( \mathcal{L}(\mathbf{x},\lambda) = f(\mathbf{x})-\lambda g(\mathbf{x}) \) la funzione ...

Ciao, sul libro di Courant-Robbins ci sono diversi esercizi di verifica del limite di successione, in particolare questo \[ a_{n}=\frac{n}{n^2+1}\longrightarrow 0 \] consiglia di vederla come \[ a_{n}=\frac{1}{n+\frac{1}{n}} \] che è minore di \(\frac{1}{n}\) e maggiore di 0, tuttavia non sono riuscito a sfruttare la cosa e ho svolto come si farebbe con una normale disequazione in \(n\) per cui sono arrivato al polinomio di secondo grado \[ \epsilon n^2-n+\epsilon \] Studiando il segno ottengo ...

Ciao a tutti. Ho trovato questo esercizio che non so neanche come iniziare Sia $f_{n}(x)=\int_{0}^{1} e^-(n|x|t) sin(n|x|t)/t dt$ con $x\in \mathbb{R}$. Studiare la convergenza semplice totale e uniforme della serie di termine generale $f_{n}(x)$. Intanto ho controllato che fosse ben definito l'integrale e lo è, dopodiché ho visto dove fosse infinitesima la f per vedere dove potrebbe aversi convergenza semplice, però la roba dentro l'integrale non mi viene uniformemente convergente e neanche a maggiorarla con qualcosa ...

Ciao, sto leggendo l'articolo sulla limitatezza della successione https://www.matematicamente.it/appunti/ ... -limitate/ e ho notato che riportate come crescente la successione \[ a_{n}

Ciao a tutti, sono qui a scrivervi perché vorrei chiedervi se sussista qualche tipo di legame sulla molteplicità della radice di un polinomio e l'ordine dato dallo sviluppo di Taylor. So che è una domanda stupida, tuttavia mi sono accorto che (es prendiamo una funzione polinomiale qualsiasi $x^5$) in generale sviluppando con taylor le prime derivate si annullano fino a un certo ordine e di solito coincide con la molteplicità della radice del polinomio. Non capisco se sia un caso o ...

ragazzi ho un problema con l'esercizio svolto $e) $ sugli integrali doppi al seguente link: http://calvino.polito.it/~nicola/analisi-II/Esercizi%20svolti%20e%20Temi%20d%27esame/Esercizi/svol_integrali_doppi.pdf nello specifico non capisco come ricava $ vartheta=pi/3$ perchè l'unico valore che sono riuscita a trovare per sostituzione in $ y>0$ e $ x^2+y^2< 2x $ con $ rhosin(vartheta)>0 $ e $ rho^2cos^2(vartheta)+ rho^2sin^2(vartheta)< rhosin(vartheta) $ rispettivamente è $ { ( sin(vartheta)>0 ),( cos(vartheta)>0 ):} $ ossia $ 0< vartheta < pi/2 $ inoltre non capisco come mai dopo aver ricavato l'integrale $ int_(Omega') rho^3 cos(vartheta) sin(vartheta) drho dvartheta $ = $ int_(Omega'_1) rho^3 cos(vartheta) sin(vartheta) drho dvartheta + int_(Omega'_2) rho^3 cos(vartheta) sin(vartheta) drho dvartheta $ risolve ...

Salve! l'esercizio mi chiede di studiare l'uniforme convergenza della seguente successione di funzioni : $ f_n(x)=(n^2x^2)/(1+n^2x^2), x in R ,AAnin N$ ho cominciato studiando la convergenza puntuale della successione applicando la definizione, ossia ho calcolato il limite: $ lim_(n -> +oo) (n^2x_1^2)/(1+n^2x_1^2) = { ( 0 ),( 1 ):} $ se $ x_1=0 $ e $ x_1!=0 $ rispettivamente a questo punto non ho idea di come procedere per studiare la convergenza uniforme dato che sono di fronte a due funzioni limite

Ciao a tutti...vi scrivo perchè vorrei porvi una domanda sulla gerarchia degli infiniti. In particolare, considerate questo limite : $\lim_{x \to \0^+}x ln x $ la cui forma indeterminata (dato che x tende a 0 da destra) è 0*(-infinito) ; generalmente la forma 0* infinito va sempre trasformata nella forma infinito/infinito oppure 0/0 per poterla risolvere; in questo caso il limite che vi ho proposto,portando la x al denominatore, diventa $lim_(x->0^+)(ln x)/(1/x) $ che,appunto,genera la forma indeterminata ...

Ciao a tutti, Vi chiedo una info riguardo degli esercizi specifici, ovvero come trovare il raggio di convergenza delle serie di potenze. Personalmente, conosco due metodi (trattati molto bene dai libri di testo di cui dispongo). Date in generale le serie di potenze nella forma $\sum_{n=0}^\infty\a_n * (x-k)^n$ Per trovare il raggio di convergenza io so applicare: 1. Criterio della radice (per serie di potenze) 2. Criterio del rapporto (per serie di potenze) La mia domanda è : Conoscete altri metodi per ...

Buonasera, avrei bisogno di un metodo e una spiegazione su come risolvere questo tipo di esercizi: Trovare massimi e minimi della funzione $f(x,y) = x + 3y$ sull'insieme ${-x^2-y^2+4<=0, -x+y<=0}$. Sono già dati i punti da analizzare: $(-sqrt(2)sqrt(5)/5, -3sqrt(2)sqrt(5)/5);(-sqrt(2),-sqrt(2));(sqrt(2),sqrt(2))$. E mi viene chiesto di trovare le soluzioni del sistema LKT, e fin qui ci sono: $(-sqrt(2)sqrt(5)/4,0);(-sqrt(2)/2,-1);(sqrt(2)/2,-1)$. Infine viene chiesto di classificare tali punti indicato se sono di massimo/minimo locale/globale oppure selle.

Buonasera a tutti mi trovo qui a scrivervi per cercare di trovare una soluzione ad un problema che era presente in un appello di esame di analisi matematica e a cui non riesco a trovare una soluzione. Il problema riguarda un ellisse centrato all'origine il cui asse maggiore misura 76 cm mentre l'asse minore misura 38 cm. Considerando il primo quadrante scrivere la funzione y=f(x). Vi ringrazio in anticipo

Salve ragazzi, ho questo dubbio : la successione $ A= {1/n} n=1,2,3...$ ammette come unico punto di accumulazione lo 0, e fin qui ci sono .Il problema sorge se ad esempio considero il numero 1/8 e cerco di applicare la definizione di punto di accumulazione : se 1/8 fosse un punto di accumulazione dovrebbe accadere questo : $ AA r >0 Ir(1/8) nn A-{1/8} != O/ $ Prendendo ad esempio un raggio pari a 1/2 e facendo l'intersezione tra l'intorno centrato in 1/8 (di raggio 1/2) e la successione A={1/n} e sottraendo 1/8 ...

Ciao. Mi trovo in difficoltà con lo svolgimento di questo radicale: mi potete dare una mano? Ecco come ho provato a svolgerlo:ma mi sono bloccata subito. modulo: $ sqrt(3^2 + 4^2) = 5$ argomento: $ cos (alpha) = 3/5 ... alpha = $circa$ 53°$ circa $3(pi)/10$ $ sen(alpha) = 4/5 ... alpha = $circa$ 53°$ circa $3(pi)/10 $ dato che non saprei che numero di radianti esatti mettere per ora lascio $3(pi)/10$ numero in forma trigonometrica: $ 5(cos 3(pi)/10 +2(pi)/2 + i*sen 3(pi)/10+2(pi)/2)$ radice (formula moivre) : ...

Ciao, mi viene chiesto di dimostrare per induzione la formula per determinare i termini di una progressione aritmetica \[ b_{n}=b_{0}+n\cdot d \] Ho posto come caso base \(n=0\) \[ b_{0}=b_{0}+0\cdot d=b_{0} \] che è vero. Per il passo induttivo ho supposto vera la formula per \(n\) \[ b_{n}=b_{0}+n\cdot d \] Voglio dimostrare che \[ b_{n+1}=b_{0}+(n+1)\cdot d \] Faccio riferimento alla definizione di progressione aritmetica per cui ogni termine è uguale al precedente aumentato della "ragione" ...

Potreste per cortesia aiutarmi con questo esercizio? non riesco a capire come svolgerlo... Si considerino i seguenti sottoinsiemi in $CC$ $A={zinCC : 1< z\bar{z} <25$ $e$ $Re(z^2) >0}$ $B={zinCC : z^2inA}$ $C={zinCC : e^(2\piz) =1}$ a) inf${|z-w| : zinA, Re(w)=0}$ vale ? b) inf${Im(z) : zinBnnC}$ vale ? c) sup${Im(z) : zinB}$ vale?

Sto dando un'occhiata ad alcuni esercizi svolti ma con questo non mi trovo : $ sum((x^k/((k+1)2^k)) $ con k=0 a + inf, appurato che ak = $ (1/((k+1)2^k)) $ l'esercizio viene svolto -> lim k->+inf di $ (1/((k+2)2^(k+1))) \cdot 2^k(k+1) $ e poi -> 1/2 e quindi rho(raggio di convegenza) = 2 . Il problema è che non capisco come viene il secondo limite , quindi con k+2 etc :/ Inoltre non ho ben capito perchè in alcuni esercizi si sostituisce a x^k il valore di x .

Ciao a tutti, ho da poco iniziato a studiare analisi 1 e per esercizio devo verificare questo limite: $ lim_(x -> infty ) (sin(e^(picosn))/n^2)=0 $ Siccome non mi riusciva mi sono guardato le soluzioni e fino a un certo punto sono riuscito a capire. Seguendo la definizione: $ |sin(e^(pi cos n))/n^2|<epsilon $ Poi, viene fatto notare nella soluzione, si può considerare: $ |sin(e^(pi cos n))|/n^2<= 1/n^2 $ Qui viene il punto che non capisco, come conseguenza del passaggio precedente: $ n>1/sqrte rArr |(sin(e^(pi cos n))/n^2)|<=1/n^2<epsilon $ E pertanto basta scegliere un intero positivo: ...

Ciao, Sono alle prese con un passaggio che mi dona alcuni grattacapi: [EDIT] Spiego meglio nel 2 post

Ciao. Dovrei fare un esercizio che mi chiede di confrontare la metrica infinito (del sup) indotta da $c_{0}$ e la metrica p su $l_{p}$ , con $p\geq 1$ Ora non è difficile vedere (lo faccio sulle norme) che $||x||_{\infty}<=||x||_{p}$. L'altro lato non vale per nessuna costante immagino. Supponiamo quindi che esista una $M>1$ tale che $||x||_{p}<M||x||_{\infty}=||Mx||_{\infty}$ (qui x è la generica successione/elemento di lp) Qualcuno sa come si potrebbe fare? Grazie dell'eventjale ...

Ciao ragazzi, Ho il seguente problema. Siano $ f=f(x,y,t) $ , $ g=g(x,y,t) $ e $ h=h(x,y,t) $ tre funzioni spazio e tempo dipendenti. Viene poi definito il seguente prodotto interno: $ (f,g) = \int_0^T \int_x \int_y f(x,y,t)g(x,y,t)dxdydt $ Sia $ B(f,\cdot) $ il seguente operatore $ B(f,\cdot) = \frac{\partial}{\partial x}[f \ast \cdot] $ allora $ (h,Bg) = (B^{\ast}h,g) + BT $ dove $B^{\ast}$ é l'operatore aggiunto di $B$. La mia domanda é: come é definito l'operatore $B^{\ast}$? La stessa domanda credo che possa essere riformulata in ...