Convergenza uniforme successione di funzioni
Salve! l'esercizio mi chiede di studiare l'uniforme convergenza della seguente successione di funzioni :
$ f_n(x)=(n^2x^2)/(1+n^2x^2), x in R ,AAnin N$
ho cominciato studiando la convergenza puntuale della successione applicando la definizione, ossia ho calcolato il limite:
$ lim_(n -> +oo) (n^2x_1^2)/(1+n^2x_1^2) = { ( 0 ),( 1 ):} $ se $ x_1=0 $ e $ x_1!=0 $ rispettivamente
a questo punto non ho idea di come procedere per studiare la convergenza uniforme dato che sono di fronte a due funzioni limite
$ f_n(x)=(n^2x^2)/(1+n^2x^2), x in R ,AAnin N$
ho cominciato studiando la convergenza puntuale della successione applicando la definizione, ossia ho calcolato il limite:
$ lim_(n -> +oo) (n^2x_1^2)/(1+n^2x_1^2) = { ( 0 ),( 1 ):} $ se $ x_1=0 $ e $ x_1!=0 $ rispettivamente
a questo punto non ho idea di come procedere per studiare la convergenza uniforme dato che sono di fronte a due funzioni limite
Risposte
Le funzioni continue $f_n$ sul compatto $[0,1]$ convergono puntualmente alla funzione discontinua $f(0)=0, f(x)=1, x \in (0,1]$ Pertanto non ci può essere convergenza uniforme.
Però... potrebbe esserci in ogni intervallo del tipo $[\varepsilon,1]$, con $\varepsilon >0$. Per far questo, calcola chi è il sup di $|f_n(x)-f(x)|$ su $[\varepsilon,1]$
Però... potrebbe esserci in ogni intervallo del tipo $[\varepsilon,1]$, con $\varepsilon >0$. Per far questo, calcola chi è il sup di $|f_n(x)-f(x)|$ su $[\varepsilon,1]$
l'intervallo $[0,1] $ come lo ricavi?
poi non capisco come calcolare $ Sup |f_n(x)-f(x)| $ se $ f(x)= { ( 0 ),( 1 ):} $ , dovrei mettere tutto a sistema ?
Ho davvero tanta confusione a proposito di queste successioni di funzione
poi non capisco come calcolare $ Sup |f_n(x)-f(x)| $ se $ f(x)= { ( 0 ),( 1 ):} $ , dovrei mettere tutto a sistema ?
Ho davvero tanta confusione a proposito di queste successioni di funzione
Ups, nella mia mente avevo in testa $x \in [0,1]$.
Per quanto riguarda la seconda domanda, visto che la funzione differenza è regolare abbastanza, puoi studiarne il "sup" sugli $x$ derivando tale espressione, insomma come uno studio di funzione. Una volta trovato tale sup, passi al limite su $n$.Chiaro che la $f$ è nulla solo in $0$, ma il sup lo stai facendo su un intervallo che non lo contiene, e quindi ivi $f=1$ e pertanto dovrai studiare solo $|\frac{n^2 x^2}{1+n^2x^2} - 1|$
Per quanto riguarda la seconda domanda, visto che la funzione differenza è regolare abbastanza, puoi studiarne il "sup" sugli $x$ derivando tale espressione, insomma come uno studio di funzione. Una volta trovato tale sup, passi al limite su $n$.Chiaro che la $f$ è nulla solo in $0$, ma il sup lo stai facendo su un intervallo che non lo contiene, e quindi ivi $f=1$ e pertanto dovrai studiare solo $|\frac{n^2 x^2}{1+n^2x^2} - 1|$
ah si è vero noi siamo in $ [\varepsilon,1] $ quindi la funzione limite è 1! In ogni caso ti volevo chiedere, come mai consideriamo proprio l'intervallo $ [\varepsilon,1] $ come possibile intervallo di convergenza uniforme ?
(Una delle cose che non ho capito è, per l'appunto, come determinare l'intervallo di convergenza quando non ti viene fornito dal testo)
(Una delle cose che non ho capito è, per l'appunto, come determinare l'intervallo di convergenza quando non ti viene fornito dal testo)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo