Norma p e norma infinito su Lp
Ciao.
Dovrei fare un esercizio che mi chiede di confrontare la metrica infinito (del sup) indotta da $c_{0}$ e la metrica p su $l_{p}$ , con $p\geq 1$
Ora non è difficile vedere (lo faccio sulle norme) che $||x||_{\infty}<=||x||_{p}$. L'altro lato non vale per nessuna costante immagino.
Supponiamo quindi che esista una $M>1$ tale che $||x||_{p}
Grazie dell'eventjale aiuto!
EDIT: avevo scritto un tentativo ma è totalmente sbagliato.
Dovrei fare un esercizio che mi chiede di confrontare la metrica infinito (del sup) indotta da $c_{0}$ e la metrica p su $l_{p}$ , con $p\geq 1$
Ora non è difficile vedere (lo faccio sulle norme) che $||x||_{\infty}<=||x||_{p}$. L'altro lato non vale per nessuna costante immagino.
Supponiamo quindi che esista una $M>1$ tale che $||x||_{p}
Grazie dell'eventjale aiuto!
EDIT: avevo scritto un tentativo ma è totalmente sbagliato.
Risposte
Dato che $l^p subset c_0$, immagino che tu voglia lavorare in $l^p$ e capire se esiste qualche costante (universale) $C>=0$ tale che $||mathbb(x)||_p <= C ||mathbb(x)||_oo$ per ogni $mathbb(x) in l^p$.
Questo non è il caso.
Difatti, se esistesse una tale costante $C$, le due norme $||*||_p$ e $||*||_oo$ sarebbero equivalenti su $l^p$ ed anche su $c_(00) subset l^p$, sottospazio costituito dalle successioni definitivamente nulle; ne seguirebbe che i due completamenti di $c_(00)$ rispetto a tali norme coinciderebbero... Ciò è assurdo, poiché il completamento di $c_(00)$ rispetto a $||*||_p$ è $l^p$, mentre rispetto a $||*||_oo$ è $c_0$ e l'inclusione $l^p subset c_0$ è stretta.
La dimostrazione si può fare anche senza ricorrere a tale espediente, ragionando come segue.
Considera per ogni $k in NN$ la successione $mathbb(x)^k=(\underbrace{1,1,1,..., 1}_{k " volte"},0,0,...,0,...)$, i.e. quella di termine generale:
\[
x_n^k=\begin{cases} 1 &\text{, se } 1\leq n \leq k \\ 0 &\text{, se } n>k\end{cases}\; ;
\]
hai evidentemente $mathbb(x)^k in c_(00) subset l^p$ e $||mathbb(x)^k||_oo = 1$ per ogni $k in NN$ e però anche:
\[
\| \mathbb{x}^k\|_p = \left( \sum_{n=1}^k 1 \right)^{1/p} = k^{1/p}\; .
\]
Se, per assurdo, esistesse $C>=0$ tale che $||mathbb(x)||_p \leq C||mathbb(x)||_oo$, la famiglia di rapporti $(||mathbb(x)^k||_p)/(||mathbb(x)^k||_oo)$ dovrebbe essere limitata superiormente, ma invece risulta $(||mathbb(x)^k||_p)/(||mathbb(x)^k||_oo)= k^{1/p} -> + oo$ quando $k -> +oo$. Assurdo!
Questo non è il caso.
Difatti, se esistesse una tale costante $C$, le due norme $||*||_p$ e $||*||_oo$ sarebbero equivalenti su $l^p$ ed anche su $c_(00) subset l^p$, sottospazio costituito dalle successioni definitivamente nulle; ne seguirebbe che i due completamenti di $c_(00)$ rispetto a tali norme coinciderebbero... Ciò è assurdo, poiché il completamento di $c_(00)$ rispetto a $||*||_p$ è $l^p$, mentre rispetto a $||*||_oo$ è $c_0$ e l'inclusione $l^p subset c_0$ è stretta.
La dimostrazione si può fare anche senza ricorrere a tale espediente, ragionando come segue.
Considera per ogni $k in NN$ la successione $mathbb(x)^k=(\underbrace{1,1,1,..., 1}_{k " volte"},0,0,...,0,...)$, i.e. quella di termine generale:
\[
x_n^k=\begin{cases} 1 &\text{, se } 1\leq n \leq k \\ 0 &\text{, se } n>k\end{cases}\; ;
\]
hai evidentemente $mathbb(x)^k in c_(00) subset l^p$ e $||mathbb(x)^k||_oo = 1$ per ogni $k in NN$ e però anche:
\[
\| \mathbb{x}^k\|_p = \left( \sum_{n=1}^k 1 \right)^{1/p} = k^{1/p}\; .
\]
Se, per assurdo, esistesse $C>=0$ tale che $||mathbb(x)||_p \leq C||mathbb(x)||_oo$, la famiglia di rapporti $(||mathbb(x)^k||_p)/(||mathbb(x)^k||_oo)$ dovrebbe essere limitata superiormente, ma invece risulta $(||mathbb(x)^k||_p)/(||mathbb(x)^k||_oo)= k^{1/p} -> + oo$ quando $k -> +oo$. Assurdo!
Grazie mille! Si dovevo provare esattamente quella cosa.
Io pensavo ci volesse una successione di lp convergente in una (infinito) e non nell'altra (p) per provare che non fossero equivalenti e ho tentato con una specie di serie armonica bloccandomi.
Inoltre è molto bella la cosa dei completamenti di $\c_{00}$.
Io pensavo ci volesse una successione di lp convergente in una (infinito) e non nell'altra (p) per provare che non fossero equivalenti e ho tentato con una specie di serie armonica bloccandomi.
Inoltre è molto bella la cosa dei completamenti di $\c_{00}$.
Per curiosità come si prova che $c_{00}$ ha completamento $l_{p}$ in norma p? Ho provato che lp è completo, basta provare che $c_{00}$ è denso (penso si possa fare in modo simile a come si fa in c0) in lp in norma p per concludere?
"Reyzet":
[...] basta provare che $c_{00}$ è denso (penso si possa fare in modo simile a come si fa in c0) in lp in norma p per concludere?
Si'. Se \( (X, d_X ) \) e' uno spazio metrico, \( (Y,d_Y) \) e' un suo completamento se (i) \( (Y,d_Y ) \) e' completo e (ii) esiste un'isometria \( i : X \to Y \) tale che \( \overline{i(X)} =Y \).
Nel tuo caso se consideri \( c_{00} \) con la metrica indotta da \( \| \cdot \|_{\ell^p} \) l'isometria \( i : c_{00} \to \ell^p \) e' semplicemente l'identita'.
Ottimo grazie mille
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