Dubbio punto di accumulazione
Salve ragazzi, ho questo dubbio :
la successione $ A= {1/n} n=1,2,3...$ ammette come unico punto di accumulazione lo 0, e fin qui ci sono .Il problema sorge se ad esempio considero il numero 1/8 e cerco di applicare la definizione di punto di accumulazione :
se 1/8 fosse un punto di accumulazione dovrebbe accadere questo : $ AA r >0 Ir(1/8) nn A-{1/8} != O/ $
Prendendo ad esempio un raggio pari a 1/2 e facendo l'intersezione tra l'intorno centrato in 1/8 (di raggio 1/2) e la successione A={1/n} e sottraendo 1/8 ottengo alcuni valori(ad es,ma dovrei trovare l'insieme vuoto , (scusate le parole povere), di conseguenza posso concludere che 1/8 è di accumulazione , ma so benissimo che non è cosi.Dove sbaglio? grazie a tutti
la successione $ A= {1/n} n=1,2,3...$ ammette come unico punto di accumulazione lo 0, e fin qui ci sono .Il problema sorge se ad esempio considero il numero 1/8 e cerco di applicare la definizione di punto di accumulazione :
se 1/8 fosse un punto di accumulazione dovrebbe accadere questo : $ AA r >0 Ir(1/8) nn A-{1/8} != O/ $
Prendendo ad esempio un raggio pari a 1/2 e facendo l'intersezione tra l'intorno centrato in 1/8 (di raggio 1/2) e la successione A={1/n} e sottraendo 1/8 ottengo alcuni valori(ad es,ma dovrei trovare l'insieme vuoto , (scusate le parole povere), di conseguenza posso concludere che 1/8 è di accumulazione , ma so benissimo che non è cosi.Dove sbaglio? grazie a tutti
Risposte
Ciao.
In generale, quanti numeri numeri della forma \( 1/n \), per \( n \) naturale, diversi da \( 1/8 \) ci sono in \( (-3/8,5/8) \)? (Tanti). Però perché \( 1/8 \) sia di accumulazione per \( A \) la cosa deve valere per ogni raggio, e non solo per \( r=1/2 \); prova con un raggio più piccolo.
"Salvy":Qui non ho capito bene cosa fai (e cosa intendi per "sottrarre").
Prendendo ad esempio un raggio pari a 1/2 e facendo l'intersezione tra l'intorno centrato in 1/8 (di raggio 1/2) e la successione A={1/n} e sottraendo 1/8 ottengo alcuni valori(ad es,ma dovrei trovare l'insieme vuoto , (scusate le parole povere), di conseguenza posso concludere che 1/8 è di accumulazione , ma so benissimo che non è cosi.Dove sbaglio? grazie a tutti
In generale, quanti numeri numeri della forma \( 1/n \), per \( n \) naturale, diversi da \( 1/8 \) ci sono in \( (-3/8,5/8) \)? (Tanti). Però perché \( 1/8 \) sia di accumulazione per \( A \) la cosa deve valere per ogni raggio, e non solo per \( r=1/2 \); prova con un raggio più piccolo.
Il fatto è che $x_0$ è un punto di accumulazione dell'insieme $E$ se in ogni intorno $U_0$ di $x_0$ cadono INFINITI punti di $E$.
Dunque $1/8 $ non è punto di accumulazione per l'insieme ; soltanto $ 0 $ lo è , diciamo che in ogni suo intorno si accumulano punti dell'insieme.
Dunque $1/8 $ non è punto di accumulazione per l'insieme ; soltanto $ 0 $ lo è , diciamo che in ogni suo intorno si accumulano punti dell'insieme.
Mi pare che la definizione sia leggermente diversa ovvero non è richiesto che nell'intorno cadano infiniti punti di $E$ ma è sufficiente che ce ne sia almeno uno (diverso da $x_0$); il fatto che poi in pratica ce ne siano infiniti ne è una conseguenza. IMHO.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"Salvy":
Salve ragazzi, ho questo dubbio :
[...]
se 1/8 fosse un punto di accumulazione dovrebbe accadere questo : $ AA r >0 Ir(1/8) nn A-{1/8} != O/ $
[...]
Siamo d'accordo. Tu vuoi far vedere che $1/8$ non è un punto di accumulazione. Quindi nega quella definizione e scrivi qua cosa ti viene.
"axpgn":
Mi pare che la definizione sia leggermente diversa ovvero non è richiesto che nell'intorno cadano infiniti punti di $ E $ ma è sufficiente che ce ne sia almeno uno (diverso da $ x_0 $); il fatto che poi in pratica ce ne siano infiniti ne è una conseguenza. IMHO.
Cordialmente, Alex
Concordo.
"Bremen000":
[quote="Salvy"]Salve ragazzi, ho questo dubbio :
[...]
se 1/8 fosse un punto di accumulazione dovrebbe accadere questo : $ AA r >0 Ir(1/8) nn A-{1/8} != O/ $
[...]
Siamo d'accordo. Tu vuoi far vedere che $1/8$ non è un punto di accumulazione. Quindi nega quella definizione e scrivi qua cosa ti viene.
"axpgn":
Mi pare che la definizione sia leggermente diversa ovvero non è richiesto che nell'intorno cadano infiniti punti di $ E $ ma è sufficiente che ce ne sia almeno uno (diverso da $ x_0 $); il fatto che poi in pratica ce ne siano infiniti ne è una conseguenza. IMHO.
Cordialmente, Alex
Concordo.[/quote]
Io non voglio negare quella definizione, l'ho applicata ad 1/8 ed i torni contano come se quel numero fosse un punto di accumulazione per quell'insieme, cosa non vera. Noto pertanto che preso un intorno di 1/8, all'interno di esso trovo anche altri punti che appartengono ad A. Di conseguenza per definizione, facendo l'intersezione di A con l'intorno ottengo, un sistema diverso da quello vuoto, per cui in accordo con la tesi 1/8 è di accumulazione(so benissimo che non lo è) peró non capisco perché facendo l'intersezione non ottengo l'insieme vuoto!
Per definizione dovrei fare l'intersezione di A con I(1/8) giusto? Dal risultato devo sottrarre (1/8) e in accordo con la tesi dovrei ottenere qualcosa di diverso da 0 perché non 1/8 non è di accumulazione. Esatto?
Allora non hai capito la definizione. La definizione dice per ogni $r>0$ ecc.. . Tu l'hai provato con un solo $r$, questo non è abbastanza. Dovresti farlo vedere per ogni $r>0$.
Ho capito grazie mille
"Salvy":
... peró non capisco perché facendo l'intersezione non ottengo l'insieme vuoto!
Perché la definizione di punto di accumulazione non richiede quello.
Rileggi ciò che ho scritto e rifletti.
Se tu prendi un punto che NON è di accumulazione possono benissimo esistere (ed in generale esistono) intorni che contengono elementi della successione ma se questo punto NON è di accumulazione come detto allora non TUTTI i suoi intorni conterranno un punto della successione.
Tu hai preso un punto che NON è di accumulazione ($1/8$) e hai preso un SOLO intorno per la tua dimostrazione invece lo dovresti dimostrare per TUTTI cioè infiniti intorni di $1/8$. La vedo difficile ...
Proviamo con $r=1/80$
$1/8-1/80=9/80$
$1/8+1/80=11/80$
E adesso vediamo se troviamo un elemento di A che sia compreso nell'intervallo (all'infuori di 1/8).
$9/80<1/n<11/80$ implica che $9n<80<11n$
Per n=8 è ok, infatti $72<80<88$ è vera...ma dobbiamo scartarlo
Proviamo n=7, viene $63<80<77$ Falso. Ed è inutile provare per valori inferiori.
Proviamo n=9 viene 81<80<99 Falso. Ed è inutile provare per valori superiori.
Ergo non esiste nessun naturale per cui 1/8 sia un punto di accumulazione.
$1/8-1/80=9/80$
$1/8+1/80=11/80$
E adesso vediamo se troviamo un elemento di A che sia compreso nell'intervallo (all'infuori di 1/8).
$9/80<1/n<11/80$ implica che $9n<80<11n$
Per n=8 è ok, infatti $72<80<88$ è vera...ma dobbiamo scartarlo
Proviamo n=7, viene $63<80<77$ Falso. Ed è inutile provare per valori inferiori.
Proviamo n=9 viene 81<80<99 Falso. Ed è inutile provare per valori superiori.
Ergo non esiste nessun naturale per cui 1/8 sia un punto di accumulazione.
Infatti, l'ho finalmente capito, grazie a tutti
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