Analisi matematica di base

Ho trovato in biblioteca un libricino impolverato di L. Hörmander (in svedese) risalente agli anni '50. E' una raccolta di problemi che si davano agli studenti del primo anno (credo). Ne propongo uno. Esercizio. Sia \( f :[0,1] \to \mathbb{R} \) ovunque continua e non-negativa. Dimostrare che \[ \lim_{x \to 0^{+}} x \int_x^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt = f(0). \]

Salve, ho un dubbio inerente ad un esercizio presente su uno degli esoneri del mio corso degli anni scorsi. Data la funzione: $ f(x)=sqrt(e^x-3)/(7-x) $ stabilire per quali valori $ alpha in R $ $ f(x)=alpha $ ammette almeno una soluzione reale. Ovviamente questo è solo un estratto dell'esercizio originale, tuttavia gli altri quesiti non avevano nulla di particolarmente difficile. Premetto che per affrontare questo esercizio non è ammesso l'utilizzo delle derivate. Ora, per ...

$ y''=y $ supponendo come soluzione la serie: $ y=sum_(n=0)^oo a_nx^n $ La soluzione del libro è: $ y=a_0cosh x+a_1sinh x $ Devo ricondurre la soluzione precedente a $ y=c_1e^x+c_2e^-x $ $ y=a_0(e^x+e^-x)/2+a_1(e^x-e^-x)/2 $ $ y=e^x/2(a_0+a_1)+e^-x/2(a_0-a_1) $ se $ (a_0+a_1)=2c_1 $ e se $ (a_0-a_1)=2c_2 $ $ y=c_1e^x+c_2e^-x $ Il procedimento è giusto o sbaglio qualcosa?

Ho questa funzione $ f(x)=sqrt(x^2+x)+1 $ Dovrei 1) determinare il dominio 2)studiarne i mimiti 3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi 4)disegnare grafico qualitativo 5)determinare immagine di f 6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k Sto procedendo cosi 1) dominio $ x<= -1 x>= 0 $ 2)$ lim_(x -> -oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $ $ lim_(x -> +oo ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = +oo $ $ lim_(x -> -1 ) f(x)=sqrt(x^2+x)+1 = 1 $ ...

Come da titolo, vorrei chiedervi come si trova l'equazione di una retta tangente alla curva di livello in un assegnato punto. Mi basta un semplice esempio svolto niente più. La mia idea era di sfruttare il vettore gradiente e trovare un vettore ad esso perpendicolare tramite condizione di perpendicolarità dei vettori ( prodotto scalare nullo intendo). Tuttavia, se mai dovesse essere giusto il ragionamento, ancora non avrei una retta tangente alla curva di livello, ma semplicemente un vettore ad ...

Buongiorno, non riesco a capire una proposizione incontrata su delle dispense di Analisi 1 di un mio professore di 2 anni fa. In particolare, parlando delle proprietà dei limiti: $lim_(x->x0)f(x) = l $ con $l $in$ RR$ SE E SOLO SE $|f(x)-l|$ infinitesima per $x->x0$ che relazione c'è tra il limite infinitesimo di un ipotetico 'pezzo' di funzione a partire da $l$ e il fatto che f(x) abbia limite $l$ ?? grazie a tutti

Mie idee: CON IL SIMBOLO DI SOMMATORIA INTENDERO' SERIE ∑ an diverge, ciò vuol dire che an o diverge, o converge a l ∈ ℝ, o è un infinitesimo di grado ≤ a 1/n oppure non ha limite PRIMA SERIE: Se la successione dei termini an diverge o tende ad l allora è chiaro che il lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non va a 0, dunque la serie diverge essendo a termini positivi. Se an->0 allora a(n)/(1+a(n)) ~ a(n)/1 e quindi per il criterio del confronto asintotico ∑ a(n)/(1+a(n)) diverge. Se ...

Salve, mi sto approcciando con non poche difficoltà alle serie di funzioni, sono riuscito a risolvere e comprendere alcuni esercizi, altri un po' meno, tra quelli che non ho ben compreso c'è questo esercizio che ho provato a risolvere: Studiare la convergenza puntuale della serie: $sum_(n =1) ^oo (n log(1+x/n))/(x+n)^2$ Dunque da quello che ho capito determinare l'insieme in cui una serie di funzioni converge puntualmente significa determinare dove converge puntualmente la successione delle somme parziali n-esime, ...

Con il metodo di frobenius sviluppo $ x^2y''+xy'-9y=0 $ suppongo come soluzione $ y=sum_(n =0)^oo a_nx^(n+s) $ Quindi posso riscrivere l'equazione differenziale come: $ sum_(n =0)^oo (n+s)(n+s-1)a_nx^(n+s)+sum_(n =0)^oo (n+s)a_nx^(n+s)-sum_(n =0)^oo 9a_nx^(n+s) =0$ per n=0 $ { ( a_0(s^2-9)=0),( a_0!= 0 ):} $ quindi $ s=+- 3 $ Adesso se vado a calcolarmi i coefficienti ennesimi per $ s=+- 3 $ non mi trovo con la soluzione del libro che è $ y=Ax^-3+Bx^3 $ perchè mi trovo uno sviluppo in serie non notevole, cioè non riesco a ricondurlo a sviluppi di funzioni fondamentali. Mi basta ...

Potreste aiutarmi a risolvere questo limite: $ lim_(n -> oo) n^\sqrt{n} - 2^n$ Ho provato a sostituire $n$ con la potenza di $2$ elevata al logaritmo ma non so. Grazie

Salve a tutti, studiando la teoria delle derivate mi è venuto questo dubbio : se f è derivabile in un intorno di x0 allora è sicuramente continua in quell'intorno. È giusto affermare questo? Perché esistono funzioni che pur essendo derivabili, non sono continue. Quindi è errato quel teorema?

Come da titolo vorrei gentilmente chiedere di risolvere un dubbio che mi attanaglia sull'epsilon delta nei limiti. La definizione di limite finito per x che tende a valore finito inizia con "Per ogni epsilon", il dubbio semplice è questo: solitamente si intende "piccolo apiacere", tuttavia se mettiamo io avessi una funzione per cui la definizione di limite vale per alcuni epsilon piccoli a piacere da un ε0 fissato, mentre per ε>ε0 non valesse la definizione. In tal caso posso comunque parlare ...

Ciao a tutti, scrivo questo post per chiedere una mano sulla risoluzione di uno studio di funzione che presenta una disequazione trascendente al momento di studiare la derivata prima. Purtroppo non possiamo utilizzare il metodo grafico in sede d'esame e sto avendo difficoltà a comprendere come applicare il teorema degli zeri per risolvere la disequazione come trovo scritto nei miei appunti. La funzione da studiare è $ x|e^(x-1)-1| $ Nel procedere con lo studio ho diviso la funzione a causa ...

Salve, stiamo facendo i condensatori in elettrotecnica. E capita spesso che durante le dimostrazioni di formule integriamo quest'ultime per disfarci di certi differenziali e trovare valori desiderati, ma, dalla matematica (e come lessi una volta su ****) i differenziali dentro gli integrali (o meglio quello che specifica la variabile di integrazione) è un mero simbolo che sta li per separare la funzione integranda con quello che viene dopo, ma dopo l'uso (direi spropositato) di integrare ...

Se f è derivabile in $x_0$, con $x_0=1$ allora è giusto dire che per per $x->1 f(x) - f(1)=o(x-1) $?

$ y''(x)+a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0 $ è una equazione differenziale lineare ordinaria omogenea con i parametri a e b che sono funzioni. Quella che ho scritto è del secondo ordine, ma se qualcuno riesce a fornirmi indicazioni generali per qualsiasi ordine n (faccio un esempio specifico per farmi capire: $ y'''(x)-x^2y'(x)+y(x)=0 $ ), è ancora meglio. Sulle dispense del mio prof e anche su wikipedia, nella spiegazione della risoluzione di quelle complete, viene spiegata la necessità di partire dalle soluzioni dell'omogenea ...

Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come risolvere questo limite riconducendolo a limiti notevoli? Grazie. \( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log (\sin(x))}{\log (x)} \) I limiti notevoli da usare credo che siano: \( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\) \( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x}=1\)

Ciao a tutti, non riesco a fare il calcolo della lunghezza di questa curva: $ \gamma(t) =(1/4cos(2t),sint), 0\let \le pi. $ Mi trovo quindi: $ \gamma'(t) =(-1/2sin(2t),cost) $ e $ L(\gamma)=int_(0)^(pi) root()(1/4sin^2(2t)+cos^2t)\ \ \dt $ che ho riscritto, usando le formule di duplicazione, come $ int_(0)^(pi) |cost|root()(sin^2(t)+1)\ \ \dt =2int_(0)^(pi/2) costroot()(sin^2(t)+1)\ \ \dt $ e provando un'integrazione per parti mi ritrovo $ 2(sintroot()(sin^2t+1)|_0^(pi/2)-int_(0)^(pi/2) (sin^2tcost)/(sqrt(sin^2t+1)) dt) $ poi per il secondo integrale non saprei come procedere. Un suggerimento del testo dice che può essere utile utilizzare un'integrazione per parti. Qualcuno che sappia aiutarmi?

Mi piacerebbe scrivere ancora riguardo il differenziale (e forme differenziali). Ne ho discusso recentemente con dissonance. Il tutto in realtà nasce perché spesso mi trovo a passare dal formalismo dell'analisi a sfruttare i differenziali come veri e propri "cambiamenti infinitesimi" di qualcosa. Tuttavia spesso, seppur sfruttandoli, non mi è del tutto chiaro cosa io stia facendo davvero. Preso da questo raptus di follia di incomprensione ho letto varie dispense questa estate e alcuni parti di ...

Durante lo svolgimento di un esercizio di mi sono trovato di fronte alla seguente successioni di funzioni: $fn(x)=(x^2)/(n+x^2)$ Devo stabilire se converge uniformemente su $ mathbb(R) $ Di conseguenza: $lim_(n->+oo) SUP_(x in mathbb(R)) |x^2/(n+x^2)-0|$ $lim_(n->+oo) SUP_(x in mathbb(R)) (x^2/(n+x^2))$ Studio la derivata prima per trovare il $ SUP $ ed ottengo che: $g'(x)=(2xn)/(n+x^2)^2$ Che è crescente per $ x > 0$ Come ci accorgiamo essendo definita in $ mathbb(R) $ non ha estremo superiore. Di conseguenza posso affermare che non ...