Spazio Normato e insieme compatto
Buongiorno a tutti!
Sono alle prese con un esercizio e vi chiedo per favore di darmi una mano.
L'esercizio è questo:
Ora, per quanto riguarda la dimostrazione di norma credo che la seguente possa andare:
Sono alle prese con un esercizio e vi chiedo per favore di darmi una mano.
L'esercizio è questo:
Sia $N:RR^3 -> RR$ definita da:
$ N (x, y, z) := max \{ |x| + |y|, |z|\} $ .
Dimostrare che $N$ è una norma su $RR^3$ e stabilire se l’insieme $\{(x, y, z) in RR^3:\ N(x, y, z) <= 3 \}$ è compatto rispetto alla metrica indotta da $N$.
Ora, per quanto riguarda la dimostrazione di norma credo che la seguente possa andare:
- [*:2nwcm8c5] $N (X)=N(x,y,z) >=0$ per definizione di modulo, ed è uguale a $0$ se e solo se \(\displaystyle X=(0,0,0) \);
[/*:m:2nwcm8c5]
[*:2nwcm8c5] $ N ( alpha X) =N (alpha x, alpha y, alpha z) = max \{ |\alpha x|+|\alpha y|,|\alpha z|\} <= max \{ |\alpha|(|x|+|y|), |\alpha||z|\} = |\alpha| max \{ |x| + |y|, |z| \} =|alpha| N(X)$;
[/*:m:2nwcm8c5]
[*:2nwcm8c5] $ N(X1+X2)= N(x1+x2,y1+y2,z1+z2)$.[/*:m:2nwcm8c5][/list:u:2nwcm8c5]
Vi torna?:-)
Ora, sia $ E= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$.
Considero la palla di raggio $3$ centrata in $0$: $ B_3(0)= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$ che è chiaramente chiusa e limitata, quindi è verificata la condizione necessaria ma non sufficiente di compattezza. Per dimostrare che è compatto dovrei verificare che da ogni ricoprimento di aperti si può estratte un sottoricoprimento finito (aiuto!!) oppure che è sequenzialmente compatto, ovvero che da ogni successione si può estrarre una sottosuccessione convergente (dalla padella alla brace).
Mi date una mano, please?
Grazie infinite!
Risposte
"Nero&Grigia":
Sia $N:RR^3 -> RR$ definita da:
$ N (x, y, z) := max \{ |x| + |y|, |z|\} $ .
Dimostrare che $N$ è una norma su $RR^3$ e stabilire se l’insieme $\{(x, y, z) in RR^3:\ N(x, y, z) <= 3 \}$ è compatto rispetto alla metrica indotta da $N$.
Ora, per quanto riguarda la dimostrazione di norma credo che la seguente possa andare:
[*:3jdp13ar] $N (X)=N(x,y,z) >=0$ per definizione di modulo, ed è uguale a $0$ se e solo se \(\displaystyle X=(0,0,0) \);[/*:m:3jdp13ar][/list:u:3jdp13ar]
Perché vale $N(X) = 0 => X=(0,0,0)$?
Non lo spieghi.
[*:3jdp13ar] $ N ( alpha X) =N (alpha x, alpha y, alpha z) = max \{ |\alpha x|+|\alpha y|,|\alpha z|\} <= max \{ |\alpha|(|x|+|y|), |\alpha||z|\} = |\alpha| max \{ |x| + |y|, |z| \} =|alpha| N(X)$;[/*:m:3jdp13ar][/list:u:3jdp13ar]
C’è una disuguaglianza di troppo.
[*:3jdp13ar] $ N(X1+X2)= N(x1+x2,y1+y2,z1+z2)$.[/*:m:3jdp13ar][/list:u:3jdp13ar]
Questa non è una proprietà delle norme.
Ora, sia $ E= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$.
Considero la palla di raggio $3$ centrata in $0$: $ B_3(0)= \{ X in RR^3:\ N(X) <= 3 \}$ […]
Qui non stai facendo altro che dare un altro nome al tuo insieme $E$.
Decidi.
[…] che è chiaramente chiusa e limitata, quindi è verificata la condizione necessaria ma non sufficiente di compattezza.
“Chiaramente” chiusa e limitata in quale topologia?
Per dimostrare che è compatto dovrei verificare che da ogni ricoprimento di aperti si può estratte un sottoricoprimento finito (aiuto!!) oppure che è sequenzialmente compatto, ovvero che da ogni successione si può estrarre una sottosuccessione convergente (dalla padella alla brace).
Non serve nulla di tutto ciò.
$RR^3$ ha dimensione finita, quindi…
Ciao gugo82, ti ringrazio molto per la risposta
In realtà questa cosa l'avevo vista "a occhio", paradossalmente dimostrarla non mi viene tanto semplice.
\(\displaystyle N(X)=0 ⇒ max { |x1| + |y1|, |z1|} = max { |x2| + |y2|, |z2|} \)si verifica nei seguenti casi
se \(\displaystyle |x1| + |y1|>|z1| \) allora
\(\displaystyle |x1| + |y1|=|x2| + |y2| \)oppure\(\displaystyle |x1| + |y1|=|z2| \)
se \(\displaystyle |x1| + |y1|<|z1| \) allora
\(\displaystyle |z1|=|z2| \)oppure\(\displaystyle |z1|=|x2| + |y2| \)
sono sulla strada giusta?
Qual è la disuguaglianza di troppo?
scusa è sfuggita una parte di dimostrazione:
\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = max { |x1+x2| + |y1+y2|, |z1+z2|} <= max { |x1| + |y1|, |z1|} + max { |x2| + |y2|, |z2|} = N(X1+N(X2) \)
In \(\displaystyle (R^3,|.|) \), ma in\(\displaystyle R^N \) tutte ne norme sono equivalenti quindi inducono la stessa topologia... giusto?
Basta dire che essendo di dimensione finita chiuso e limitato \(\displaystyle \Leftrightarrow \) compatto?
Come si dimostra in generale, ad esempio negli spazi \(\displaystyle l^p \)?
Grazie ancora
Perché vale \(\displaystyle N(X)=0⇒X=(0,0,0)? \)
In realtà questa cosa l'avevo vista "a occhio", paradossalmente dimostrarla non mi viene tanto semplice.
\(\displaystyle N(X)=0 ⇒ max { |x1| + |y1|, |z1|} = max { |x2| + |y2|, |z2|} \)si verifica nei seguenti casi
se \(\displaystyle |x1| + |y1|>|z1| \) allora
\(\displaystyle |x1| + |y1|=|x2| + |y2| \)oppure\(\displaystyle |x1| + |y1|=|z2| \)
se \(\displaystyle |x1| + |y1|<|z1| \) allora
\(\displaystyle |z1|=|z2| \)oppure\(\displaystyle |z1|=|x2| + |y2| \)
sono sulla strada giusta?
\(\displaystyle N(αX)=N(αx,αy,αz)=max{|αx|+|αy|,|αz|}≤max{|α|(|x|+|y|),|α||z|}=|α|max{|x|+|y|,|z|}=|α|N(X); \)
Qual è la disuguaglianza di troppo?
\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) \)
scusa è sfuggita una parte di dimostrazione:
\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = max { |x1+x2| + |y1+y2|, |z1+z2|} <= max { |x1| + |y1|, |z1|} + max { |x2| + |y2|, |z2|} = N(X1+N(X2) \)
“Chiaramente” chiusa e limitata in quale topologia?
In \(\displaystyle (R^3,|.|) \), ma in\(\displaystyle R^N \) tutte ne norme sono equivalenti quindi inducono la stessa topologia... giusto?
\(\displaystyle R^3 \) ha dimensione finita, quindi…
Basta dire che essendo di dimensione finita chiuso e limitato \(\displaystyle \Leftrightarrow \) compatto?
Come si dimostra in generale, ad esempio negli spazi \(\displaystyle l^p \)?
Grazie ancora
"Nero&Grigia":
Ciao gugo82, ti ringrazio molto per la risposta
Perché vale \(\displaystyle N(X)=0⇒X=(0,0,0)? \)
In realtà questa cosa l'avevo vista "a occhio", paradossalmente dimostrarla non mi viene tanto semplice.
\(\displaystyle N(X)=0 ⇒ max { |x1| + |y1|, |z1|} = max { |x2| + |y2|, |z2|} \)si verifica nei seguenti casi
se \(\displaystyle |x1| + |y1|>|z1| \) allora
\(\displaystyle |x1| + |y1|=|x2| + |y2| \)oppure\(\displaystyle |x1| + |y1|=|z2| \)
se \(\displaystyle |x1| + |y1|<|z1| \) allora
\(\displaystyle |z1|=|z2| \)oppure\(\displaystyle |z1|=|x2| + |y2| \)
sono sulla strada giusta?
No.
Semplicemente, cosa accade se $max \{ |x| + |y|, |z|\}=0$?
[quote]\(\displaystyle N(αX)=N(αx,αy,αz)=max{|αx|+|αy|,|αz|} {\color{red}≤} max{|α|(|x|+|y|),|α||z|}=|α|max{|x|+|y|,|z|}=|α|N(X); \)
Qual è la disuguaglianza di troppo?[/quote]
Quella in rosso.
[quote]\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) \)
scusa è sfuggita una parte di dimostrazione:
\(\displaystyle N(X1+X2)=N(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = max { |x1+x2| + |y1+y2|, |z1+z2|} \leq max { |x1| + |y1|, |z1|} + max { |x2| + |y2|, |z2|} = N(X1+N(X2) \)[/quote]
E perché vale $<=$?
Non lo spieghi.
[quote]“Chiaramente” chiusa e limitata in quale topologia?
In \(\displaystyle (R^3,|.|) \), ma in\(\displaystyle R^N \) tutte ne norme sono equivalenti quindi inducono la stessa topologia... giusto?[/quote]
Esatto… Ma non è quello che devi dimostrare (vuoi provare che $E$ è compatto in $(RR^3, N)$, non in $(RR^3, |*|)$).
Tuttavia:
[quote]\(\displaystyle R^3 \) ha dimensione finita, quindi…
Basta dire che essendo di dimensione finita chiuso e limitato \(\displaystyle \Leftrightarrow \) compatto?[/quote]
Secondo te?
Basta?
O c’è da dire qualcosa in più? Tipo quello che hai detto sopra?
Come si dimostra in generale, ad esempio negli spazi \(\displaystyle l^p \)?
Semplicemente, non si dimostra… Perché è falso.
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