Criterio della radice per successioni
Ciao, sto studiando i limiti di successioni. Volevo chiedervi se il criterio seguente è detto della radice (ho trovato sui libri di testo il criterio della radice riguardante le serie che non ho ancora studiato) e se è corretto:
Si suppone che \(a_{n}\) sia una successione a termini positivi e che \(\forall n\in N, a_{n}\leq q^n\) definitivamente.
La dimostrazione procede estraendo la radice
\[
\sqrt[n]{a_{n}}\leq q, \forall n\in N
\]
e facendo la seguente ipotesi
\[
\exists L=\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
\]
usando il teorema di permanenza del segno si dimostra che \(L\leq q\).
Si suppone che \(a_{n}\) sia una successione a termini positivi e che \(\forall n\in N, a_{n}\leq q^n\) definitivamente.
La dimostrazione procede estraendo la radice
\[
\sqrt[n]{a_{n}}\leq q, \forall n\in N
\]
e facendo la seguente ipotesi
\[
\exists L=\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
\]
usando il teorema di permanenza del segno si dimostra che \(L\leq q\).
Risposte
Scusa, ma quale sarebbe l’enunciato?
E quale la dimostrazione?
Non si capisce nulla di quello che hai scritto.
E quale la dimostrazione?
Non si capisce nulla di quello che hai scritto.
"gugo82":
Scusa, ma quale sarebbe l’enunciato?
Dopo i :
E quale la dimostrazione?
Non la so nemmeno io altrimenti non avrei chiesto
Non si capisce nulla di quello che hai scritto.
Nessun problema.
Provo a formulare la domanda in altri termini: "Occorre fare un confronto fra due successioni per determinare il limite di una delle due. Siccome compare una esponenziale, il confronto procede calcolando il limite dell'altra successione sotto radice." Questo criterio è detto della radice? A lezione è stata definita così ma io ho trovato questo criterio descritto solo per le serie che non sono state ancora spiegate. Ho cercato sul vecchio libro di Modica/Faedo, Marcellini/Sbordone ma non ho trovato questo criterio applicato alle successioni o forse è chiamato in altro modo, non so. Mi dispiace ma non ho altre informazioni, solo gli appunti che purtroppo sono scritti un po' male.
Uno spunto, non una dimostrazione.
L'idea è che se $q^n$ converge a zero, allora se tutti i termini della serie sono "dominati" anch'essi convergono perchè la serie starà sempre "sotto" la serie geometrica.
E noi sappiamo quando la serie geometrica converge e quando diverge (e quando il criterio porta all'indecibilità).
Insomma, anche il criterio della radice è pur sempre un confronto fra due serie.
L'idea è che se $q^n$ converge a zero, allora se tutti i termini della serie sono "dominati" anch'essi convergono perchè la serie starà sempre "sotto" la serie geometrica.
E noi sappiamo quando la serie geometrica converge e quando diverge (e quando il criterio porta all'indecibilità).
Insomma, anche il criterio della radice è pur sempre un confronto fra due serie.
Il Criterio della Radice per Successioni che ricordo io è qualcosa del genere:
e la dimostrazione si fa tenendo presente che, per $n>=n_0$, risulta $0<= a_n <= q^n$ (primo caso) o $a_n >= q^n$ (secondo caso), invocando criteri di regolarità per confronto (i.e., i Teoremi dei carabinieri e del confronto) e ricordando il comportamento della successione esponenziale $q^n$.
Ovviamente le maggiorazioni/minorazioni dell’enunciato precedente possono essere rimpiazzate dalle ipotesi più restrittive:
Sia $(a_n)$ una successione di numeri reali maggiori od uguali a $0$.
[*:1o1yusgb] Se esistono $0<= q < 1$ ed $n_0 in NN$ tali che per ogni $n >= n_0$ risulti $root(n)(a_n) <= q$, allora $lim_n a_n = 0$.
[/*:m:1o1yusgb]
[*:1o1yusgb] Se esistono $q>1$ ed $n_0 in NN$ tali che per ogni $n>= n_0$ risulti $root(n)(a_n) >= q$, allora $lim_n a_n = +oo$.[/*:m:1o1yusgb][/list:u:1o1yusgb]
e la dimostrazione si fa tenendo presente che, per $n>=n_0$, risulta $0<= a_n <= q^n$ (primo caso) o $a_n >= q^n$ (secondo caso), invocando criteri di regolarità per confronto (i.e., i Teoremi dei carabinieri e del confronto) e ricordando il comportamento della successione esponenziale $q^n$.
Ovviamente le maggiorazioni/minorazioni dell’enunciato precedente possono essere rimpiazzate dalle ipotesi più restrittive:
- [*:1o1yusgb] $lim_n root(n)(a_n) = l <1$ (primo caso),
[/*:m:1o1yusgb]
[*:1o1yusgb] $lim_n root(n)(a_n) = l >1$ (secondo caso).[/*:m:1o1yusgb][/list:u:1o1yusgb]
Perché?
Come va fatta la dimostrazione?
OK, grazie a tutti per il chiarimento.
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