Serie: convergenza puntuale e uniforme
Ciao a tutti!
Vorrei chiedere ancora il vostro prezioso aiuto (questo esame di analisi mi sta uccidendo).
Stavolta l'esercizio è il seguente (non sono ferratissima quindi spero di non dire corbellerie
)
Data \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k+k^{-x} ) \), se ne studi la convergenza puntuale e uniforme.
Posso considerare separatamente le due serie:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k) \) è una serie di potenze, ponendo\(\displaystyle y=x/2 \) ottengo la serie \(\displaystyle \sum (y)^k \) di generico termine \(\displaystyle an=1 \) il cui raggio di convergenza è 1, quindi la serie converge puntualmente in (-1,1).
La serie numerica \(\displaystyle \sum (-1)^k \) non converge , mentre\(\displaystyle \sum (+1)^k \) diverge positivamente.
Quindi la serie converge uniformemente e totalmente in \(\displaystyle [-a;a] \)con\(\displaystyle 0
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^{-x} \)è una serie numerica, ovvero la serie armonica di ragione \(\displaystyle (1/k) \)che converge per \(\displaystyle x >1 \) e diverge per \(\displaystyle x<=1 \).
In definitiva, la serie\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k+k^{-x} \) converge puntualmente in \(\displaystyle (-2,2) \bigcap (1;\infty)=(1,2) \), uniformemente in \(\displaystyle [a;b] \) con\(\displaystyle 1
Vi sembra corretto? Ho detto qualche cavoltata? Grazie mille, siete fantastici!!
Vorrei chiedere ancora il vostro prezioso aiuto (questo esame di analisi mi sta uccidendo).
Stavolta l'esercizio è il seguente (non sono ferratissima quindi spero di non dire corbellerie
)Data \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k+k^{-x} ) \), se ne studi la convergenza puntuale e uniforme.
Posso considerare separatamente le due serie:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k) \) è una serie di potenze, ponendo\(\displaystyle y=x/2 \) ottengo la serie \(\displaystyle \sum (y)^k \) di generico termine \(\displaystyle an=1 \) il cui raggio di convergenza è 1, quindi la serie converge puntualmente in (-1,1).
La serie numerica \(\displaystyle \sum (-1)^k \) non converge , mentre\(\displaystyle \sum (+1)^k \) diverge positivamente.
Quindi la serie converge uniformemente e totalmente in \(\displaystyle [-a;a] \)con\(\displaystyle 0
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^{-x} \)è una serie numerica, ovvero la serie armonica di ragione \(\displaystyle (1/k) \)che converge per \(\displaystyle x >1 \) e diverge per \(\displaystyle x<=1 \).
In definitiva, la serie\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty ( (x/2)^k+k^{-x} \) converge puntualmente in \(\displaystyle (-2,2) \bigcap (1;\infty)=(1,2) \), uniformemente in \(\displaystyle [a;b] \) con\(\displaystyle 1
Vi sembra corretto? Ho detto qualche cavoltata? Grazie mille, siete fantastici!!
Risposte
Mi pare giusto.
Yeeeeee non ci speravo! Grazie mille 
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