Integrale doppio
$ int_(0)^(3) dx (int_(0)^(sqrt(9-x^2)) x dy )-int_(0)^(1)(int_(0)^(sqrt(1-x^2))xdy)dx=int_(0)^(3)x(sqrt(9-x^2))-int_(0)^(1)x(sqrt(1-x^2))=int_(0)^(3)(3x-x^2)dx-int_(0)^(1)(x-x^2)dx=3int_(0)^(3)x-int_(0)^(3)x^2-int_(0)^(1)x+int_(0)^(1)x^2dx=3[x^2/2]_(0)^(3)-[x^3/3]_(0)^(3)-[x^2/2]_(0)^(1)+[x^3/3]_(0)^(1)=(3(3)^2/2-3^3/3-1^2/2+1^3/3)=27/2-27/3-1/2+1/3=(81-54-3+2)/6=26/6 $
Risposte
Qual è la domanda? Vuoi che controlliamo i conti? Il procedimento?
Non va bene scrivere post così, ti avrei già potuto rispondere e invece dobbiamo stare qua a capire cosa ti serve; cerca di migliorare questo aspetto.
Poi a seguito di questo
ti consiglio vivamente di accantonare gli integrali doppi e tornare a rivedere prerequisiti fondamentali.
Non va bene scrivere post così, ti avrei già potuto rispondere e invece dobbiamo stare qua a capire cosa ti serve; cerca di migliorare questo aspetto.
Poi a seguito di questo
"cri98":
$int_(0)^(3)x(sqrt(9-x^2))-int_(0)^(1)x(sqrt(1-x^2))=int_(0)^(3)(3x-x^2)dx-int_(0)^(1)(x-x^2)dx$
ti consiglio vivamente di accantonare gli integrali doppi e tornare a rivedere prerequisiti fondamentali.
il risultato deve essere 26/3 volevo sapere dove è l'errore che ho commesso:
$ int_(0)^(3)x(sqrt(9-x^2))-int_(0)^(1)x(sqrt(1-x^2))=int_(0)^(3)(3x-x^2)dx-int_(0)^(1)(x-x^2)dx $
io ho preso i termini sotto radice e le ho estratti non va bene?
grazie
$ int_(0)^(3)x(sqrt(9-x^2))-int_(0)^(1)x(sqrt(1-x^2))=int_(0)^(3)(3x-x^2)dx-int_(0)^(1)(x-x^2)dx $
io ho preso i termini sotto radice e le ho estratti non va bene?
grazie
$ int_(0)^(3)x(sqrt(9-x^2))=x(3-x)=3x-x^2$
No che non va bene, ma è appunto un prerequisito che si impara molto prima di affrontare anche gli integrali in una variabile; non puoi andare avanti con gli argomenti se hai un'incertezza di questo tipo.
Per convincertene, quando si scrive $\text{roba}(x)=\text{cose}(x)$ si sottointende per ogni $x$ (o per ogni $x$ in uno specifico insieme in cui si sta lavorando); ti sembra che l'uguaglianza $\sqrt{9-x^2}=3-x$ valga per ogni $x\in[0,3]$?
Se prendi $x=1$ ti viene $\sqrt{8}=2$, che è palesemente falso; quindi quelle non possono essere uguaglianze lecite.
Poi ci sarebbe anche da dire che $\sqrt{x^2}=|x|$, ma essendo in questo caso $x$ non negativo non posso sapere se hai saltato il passaggio o non l'hai considerato.
Quindi, per una tua genuina crescita, rivediti per bene le radici e poi si riparla dell'integrale doppio.
Per convincertene, quando si scrive $\text{roba}(x)=\text{cose}(x)$ si sottointende per ogni $x$ (o per ogni $x$ in uno specifico insieme in cui si sta lavorando); ti sembra che l'uguaglianza $\sqrt{9-x^2}=3-x$ valga per ogni $x\in[0,3]$?
Se prendi $x=1$ ti viene $\sqrt{8}=2$, che è palesemente falso; quindi quelle non possono essere uguaglianze lecite.
Poi ci sarebbe anche da dire che $\sqrt{x^2}=|x|$, ma essendo in questo caso $x$ non negativo non posso sapere se hai saltato il passaggio o non l'hai considerato.
Quindi, per una tua genuina crescita, rivediti per bene le radici e poi si riparla dell'integrale doppio.
Ciao cri98,
Fermo restando che condivido pienamente quanto ti ha scritto Mephlip soprattutto in merito ai prerequisiti,
ti segnalo sommessamente che gli integrali proposti si possono facilmente ricondurre a quello fondamentale seguente:
$\int [f(x)]^a f'(x) \text{d}x = \frac{[f(x)]^{a + 1}}{a + 1} + c $
ove nel tuo caso $a = 1/2 $ e $f(x) = 9 - x^2 $ nel primo integrale, $f(x) = 1 - x^2 $ nel secondo.
Quindi semplicemente si ha:
$ \int_0^3 \text{d}x (\int_0^(\sqrt(9-x^2)) x \text{d}y)-int_0^1(int_0^(\sqrt(1-x^2))x \text{d}y)\text{d}x =$
$ = \int_0^3 x \sqrt(9-x^2) \text{d}x -\int_0^1 x\sqrt(1-x^2) \text{d}x = 9 - 1/3 = 26/3$
Fermo restando che condivido pienamente quanto ti ha scritto Mephlip soprattutto in merito ai prerequisiti,
ti segnalo sommessamente che gli integrali proposti si possono facilmente ricondurre a quello fondamentale seguente:
$\int [f(x)]^a f'(x) \text{d}x = \frac{[f(x)]^{a + 1}}{a + 1} + c $
ove nel tuo caso $a = 1/2 $ e $f(x) = 9 - x^2 $ nel primo integrale, $f(x) = 1 - x^2 $ nel secondo.
Quindi semplicemente si ha:
$ \int_0^3 \text{d}x (\int_0^(\sqrt(9-x^2)) x \text{d}y)-int_0^1(int_0^(\sqrt(1-x^2))x \text{d}y)\text{d}x =$
$ = \int_0^3 x \sqrt(9-x^2) \text{d}x -\int_0^1 x\sqrt(1-x^2) \text{d}x = 9 - 1/3 = 26/3$
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