Esercizio circonferenza complessa

[andreaandreani2009]

Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio per favore?
Determinare per quali valori di k apparente a \( \Re \) l'insieme delle soluzioni della seguente equazione complessa costituisce una circonferenza. Per tali valori di k determinare il centro e il raggio delle corrispondenti circonferenze.
\( z\overline{z}+(1+i(k^2+4))z+(1-i5k)\overline{z}=-1 \)

[spugna2]

Scrivendo $z=x+iy$, sviluppando i prodotti e separando parte reale e immaginaria si ottengono due equazioni a coefficienti reali in $x$ e $y$: quella data dalla parte immaginaria è:

$y+(k^2+4)x-y-5kx=0 \Rightarrow (k^2-5k+4)x=0$.

Ora, se $k^2-5k+4 ne 0$ seguirebbe $x=0$, quindi l'insieme delle soluzioni sarebbe contenuto nell'asse immaginario, ma una retta non può contenere una circonferenza (a meno che non siano ammesse anche le circonferenze degeneri di raggio $0$, cioè costituite da un singolo punto), quindi si deve avere $k^2-5k+4=0$, cioè $k=1$ oppure $k=4$. In entrambi i casi, per quanto già detto l'equazione sulla parte immaginaria è soddisfatta da tutti i punti del piano complesso, e rimane solo quella sulla parte reale:

$x^2+y^2+2x-(k^2+5k+4)y=-1$, che completando i quadrati diventa
$(x+1)^2+(y-h)^2=h^2$, dove per comodità ho posto $h=(k^2+5k+4)/2$. Questa è la circonferenza di centro $-1+ih$ e raggio $|h|$, e a questo punto devi solo trovare i valori di $h$ che si ottengono da $k=1$ e $k=4$ (che sono rispettivamente $5$ e $20$).