Dimostrazione dell' irrazionalità del $ log_3(2) $

[giacomo241]

Ciao a tutti!
Sono nuovo qui e avrei bisogno di un aiutino con la dimostrazione dell'irrazionalità del $ log_3(2) $.
Io avevo provato a dimostrarla in questo modo:

$ m,nin mathbb(N) $

pongo quindi per assurdo che:

$ log_3(2) $= $ m/n $ $ hArr $ $ 2=3^(m/n) $

poi moltiplico entrambi gli esponenti dei due membri per $ n $ ottenendo:

$ 2^n=3^m $

a questo punto vedo che:

$ 2^nin 2mathbb(N) $ , $ 3^m in 2mathbb(N-1) $ $ AA nin mathbb(N) $

il che è impossibile! Potrebbe andar bene secondo voi? Grazie in anticipo

[gugo82]

Certo che va bene…

Un altro modo consiste nel notare che $2^n$ ha solo fattori $2$, che non compaiono in $3^m$ (che ha solo fattori $3$).

[otta96]

"giacomo24":Ciao a tutti!
Sono nuovo qui

Benvenuto nel forum e buona permanenza. Mi raccomando, dai un'occhiata al regolamento.
Come ha già detto gug82 la tua dimostrazione va bene, però diciamo che non è scritta proprio benissimo e dato che siamo in un forum di matematica ci si aspetta che venga curata anche la forma di quello che si dice.
Per esempio:

poi moltiplico entrambi gli esponenti dei due membri per $ n $ ottenendo:

Questa frase è bruttina, era meglio dire elevo alla $n$ entrambi i membri.

$ 2^nin 2mathbb(N) $ , $ 3^m in 2mathbb(N-1) $ $ AA nin mathbb(N) $

E qua è (tecnicamente) proprio sbagliato, bisognava scrivere $2^n\in 2mathbb(N)AA n\in mathbb(N)$, $ 3^m \in 2mathbb(N-1)AA m\in mathbb(N)$.
Comunque sono solo sottigliezze, non preoccuparti.

[giacomo241]

Grazie mille a entrambi! Mi impegnerò a curare meglio il linguaggio