Area superficie sferica

[process11]

l'esercizio è questo: calcolare l'area della porzione di superficie sferica di raggio R e centro (0,0,0) compresa tra il piano $z=R/2$ e $z=R/2$
io pensavo di utilizzare le coordinate sferiche per parametrizzare la sfera ${x^2+y^2+z^2 $x=rho $$senphi$$costheta$
$y=rho $$senphi$$sentheta$
$z=rhocosphi$
però non capisco quale sia la funzione da integrare....

[Sk_Anonymous]

"blabla":
... calcolare l'area della porzione di superficie sferica di raggio R e centro (0,0,0) compresa tra il piano $z=R/2$ e $z=R/2$ ...

Immagino intendessi scrivere tra i piani $[z=-R/2]$ e $[z=+R/2]$. Prima dovresti determinare l'elemento infinitesimo di superficie utilizzando un noto procedimento. In ogni modo, parametrizzando la sfera in coordinate sferiche, che sarebbe meglio scrivere nel seguente modo:

$\{(x=Rcos\phisen\theta),(y=Rsen\phisen\theta),(z=Rcos\theta):}$

si otterrebbe $[dS=R^2sen\thetad\phid\theta]$. Quindi, nel tuo caso:

$S=\int_{1/3\pi}^{2/3\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}d\phiR^2sen\theta=2\int_{1/3\pi}^{1/2\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}d\phiR^2sen\theta$

[process11]

ascolta per calcolare l'elemento infinitesimo non so quale sia il noto procedimento, io pensavo di far cosi:
$r(phi,theta)=(Rcosphisentheta,Rsenphisentheta,Rcostheta)$
$-*pi/2 $(delR)/(delphi)=(-Rsenphisentheta,Rcosphicostheta,0)$
$(delR)/(deltheta)=(Rcosthetacosphi,Rsenphicostheta,-Rsentheta)$
poi si calcola questo
$(delR)/(delphi) x (delR)/(deltheta)$, e poi la norma???
probabilmente ho scrito un pò di sciocchezze, cmq non mi veniva in mente altro....

Ah, posso chiederti perchè fai andare $theta$ da $pi/3$ a $2pi/3$???

[Sk_Anonymous]

Il procedimento è corretto. Dopo aver calcolato i $[2]$ vettori tangenti alla superficie lungo le linee coordinate, si esegue il loro prodotto vettoriale e quindi la norma. Gli estremi d'integrazione si ottengono geometricamente considerando il triangolo rettangolo di cui l'ipotenusa vale $[R]$ e un cateto $[R/2]$. Questo non toglie che si potrebbero ottenere anche per via puramente algebrica. Ti faccio notare che ho utilizzato $[0<=\phi<=2\pi]$ e $[0<=\theta<=\pi]$, il secondo più conveniente perchè $[sen\theta>=0]$ ovunque. Tra l'altro, la trasformazione di coordinate che ho scritto vale utilizzando questo secondo intervallo.