Chiusura di un operatore

[gygabyte017]

Ciao a tutti, devo dimostrare la seguente cosa ma non so bene come si può fare:

Premessa:

Sia $A: D(A) \subset L^2(X) -> L^2(Y)$, dove $(X, \mathcal{F}, mu)$, $(Y, \mathcal{G}, nu)$ sono spazi di misura (e le misure sono finite).

Si scopre che $A$ non è un operatore chiuso, ma è prechiuso (closeable, non so come lo traducete), e che $D(A)$ è denso in $L^2(X)$.

Come viene naturale, si crea quindi l'estensione chiusa:
$\tilde{A}: D(\tilde{A}) \subset L^2(X) -> L^2(Y)$
con $D(\tilde{A}) = \bar{D(A)}^{||\cdot||_{Gamma}} = { F in L^2(X) \quad :\quad EE (F_n)_n \subset D(A) \quad:\quad F_n -> F " in " L^2(X) ", e " AF_n -> G " in " L^2(Y)}$ $" "(\star)"$

dove per $||\cdot||_{Gamma}$ intendo la norma del grafico, ovvero per $F in D(\tilde{A})$, $||F||_{Gamma}^2 = ||F||_{L^2(X)}^2 + ||\tilde{A}F||_{L^2(Y)}^2$.

Quindi, per $F in D(\tilde{A})$, pongo $\tilde{A}F = \lim F_n =G$ e la cosa è ben posta perché il limite è unico essendo $D(A)$ denso.

Tutto questo dovrebbe essere standard, niente di particolare.

Si vuole ora mostrare la seguente caratterizzazione:

Sia $F in L^2(X)$. Se $EE (F_n)_n in D(\tilde{A})$ tali che:

1) $F_n -> F$ in $L^2(X)$
2) $"sup"_n ||F_n||_{Gamma} <= C$ costante

Allora $F in D(\tilde{A})$ e $||F||_{Gamma} <= C$

Inizialmente mi sembrava una cosa relativamente semplice, ma ho provato a fare diversi tentativi "standard" (del tipo visto che $F_n in D(\tilde{A})$, allora $AA n$ $EE (F_n^{(k)})_k \subset D(A)$ tali che soddisfano $(\star)$ e ho provato a rimettere insieme le cose magari considerando la successione $(F_n^{(n)})_n$ e facendo un procedimento diagonale) ma non sono arrivato proprio da nessuna parte...

Qualche suggerimento?

Grazie mille!

[dissonance]

\((F_n, \overline{A}F_n)\) è una successione limitata nello spazio di Hilbert \(\Gamma(\overline{A})\). Quindi essa ha una estratta debolmente convergente, diciamo \((F_n, \overline{A}F_n))\rightharpoonup (G, \overline{A}G)\). Ma siccome \(F_n \to F\) allora necessariamente \(G=F\).

[gygabyte017]

Grazie! Era più semplice di quanto pensassi, ma non mi era venuta in mente la convergenza debole.