Equazione differenziale dubbi da pivello

[nunziox]

$z'(x)-z(x)^2 -2=0$

Risolvendo la omogenea associata

$z'-z^2=0$

$((z')/z^2)=1$

e integrando

$-(1/z)=z$

$z^2=-1$

$z=+-i$

è possibile?

[ciampax]

Quell'equazione non è lineare!

[gugo82]

"ciampax":Quell'equazione non è lineare!

Perciò non ha alcun senso risolvere prima "l'omogenea associata".

La EDO che hai sotto mano è di un tipo particolare e si risolve per quadrature (come si suol dire).
Il libro di teoria che dice in proposito?

[Quinzio]

Ok, però non facciamoci spaventare da un quadrato .... si risolve anche a variabili separabili.

$z' = z^2+2$

$(z')/(z^2+1)=1$

$z= \sqrt2 \tan(\sqrt2 x +c)$

[Mrhaha]

"Quinzio":Ok, però non facciamoci spaventare da un quadrato .... si risolve anche a variabili separabili.

$z' = z^2+2$

$(z')/(z^2+1)=1$

$z= \sqrt2 \tan(\sqrt2 x +c)$

Come sei passato da $z' = z^2+2$ a questo $(z')/(z^2+1)=1$?

[ciampax]

Dividendo?

[nunziox]

ah ok cosi a varibili separate è molto meglio:) provo a risolverla!

L'esercizio è un problema di cauchy:

$y'=(2x+y)^2$
$y(0)=0$

allora io ho posto:

$z(x)=2x+y(x)$
$y'(x)=z'(x)-2$

quindi

$z'(x)-2=z(x)^2$

$z'-z^2-2=0$

questa è quindi il problema di cauchy a variabili separate:

$(z')/((z/sqrt(2))^2+1)=2$
$z(0)=0$

integrando:

$arctg(z/sqrt(2))=2x+c$

sostituendo il dato iniziale:

$c=0$

sbaglio qualcosa?

[ciampax]

$\sqrt{2}\arctan\frac{z}{\sqrt{2}}=2x+c$

[nunziox]

correggo:

$sqrt(2)*arctg(z/sqrt(2))=2x+c$

sostituendo il dato iniziale:

$c=0$

$sqrt(2)*arctg(z/sqrt(2))=2x$

$arctg(z/sqrt(2))=2x/(sqrt(2))$

$z=sqrt(2)/2*tan(sqrt(2)x)$

[ciampax]

Scritta meglio: $z(x)=\frac{sqrt{2}}{2}\tan(\sqrt{2} x)$. Quanto vale $y(x)$?

[nunziox]

sistemata.

Allora $y(x)$

essendo:
$z(x)=2x+y(x)$

da:

$z=2/sqrt(2)*tan(sqrt(2)*x)$

$2x+y(x)=2/sqrt(2)*tan(sqrt(2)*x)$

quindi:

$y(x)=2/sqrt(2)*tan(sqrt(2)*x)-2x$

[Quinzio]

"Mrhaha":[quote="Quinzio"]
$(z')/(z^2+1)=1$

Come sei passato da $z' = z^2+2$ a questo $(z')/(z^2+1)=1$?[/quote]

Scusa, ho scritto sbagliando.... l'1 va sostituito con 2.

[nunziox]

la y(x) è giusta ?

[ciampax]

Sì

[nunziox]

grazie:)

[Mrhaha]

"Quinzio":[quote="Mrhaha"][quote="Quinzio"]
$(z')/(z^2+1)=1$

Come sei passato da $z' = z^2+2$ a questo $(z')/(z^2+1)=1$?[/quote]

Scusa, ho scritto sbagliando.... l'1 va sostituito con 2.[/quote]


Stavo congetturando cose assurde!
Perchè poi mi trovavo!