Calcolo semplice limite con radicali
Salve a tutti,
Considerando che questo è anche il mio primo messaggio sul forum, ne approfitto per una veloce presentazione: studio Ingegneria Informatica, dopo (ahimè) un liceo classico. Mi manca davvero tanto rispetto a chi ha fatto uno scientifico e me ne sto rendendo sempre più conto (soprattutto perché alcuni prof tralasciano diverse cose dandole per scontate per tutti, in quanto il 99% ha praticamente già fatto tutto o quasi il programma di Analisi alle superiori).
Soprattutto, riesco a capire bene la teoria, ma mi mancano del tutto le capacità meccaniche di calcolo, e a volte mi trovo bloccato in alcune cose.
Ad esempio, un limite banale:
$\lim_{x \to \infty}(sqrt(2x^2 + x + 1))/(x-1)$
(il limite tende a +/- infinito, non son riuscito a scriverlo direttamente nella formula).
L'eserciziario mi dà come risultati, per x->+inf L=sqrt(2), per x->-inf L=-sqrt(2), senza spiegar passaggi o altro.
Qualcuno può spiegarmi come si arriva a quel risultato, e cosa va considerato?
Considerando che questo è anche il mio primo messaggio sul forum, ne approfitto per una veloce presentazione: studio Ingegneria Informatica, dopo (ahimè) un liceo classico. Mi manca davvero tanto rispetto a chi ha fatto uno scientifico e me ne sto rendendo sempre più conto (soprattutto perché alcuni prof tralasciano diverse cose dandole per scontate per tutti, in quanto il 99% ha praticamente già fatto tutto o quasi il programma di Analisi alle superiori).
Soprattutto, riesco a capire bene la teoria, ma mi mancano del tutto le capacità meccaniche di calcolo, e a volte mi trovo bloccato in alcune cose.
Ad esempio, un limite banale:
$\lim_{x \to \infty}(sqrt(2x^2 + x + 1))/(x-1)$
(il limite tende a +/- infinito, non son riuscito a scriverlo direttamente nella formula).
L'eserciziario mi dà come risultati, per x->+inf L=sqrt(2), per x->-inf L=-sqrt(2), senza spiegar passaggi o altro.
Qualcuno può spiegarmi come si arriva a quel risultato, e cosa va considerato?
Risposte
Quando $[x\to\infty]$ devi raccogliere la potenza di grado massimo.
Ma visto che c'è un radicale non conviene prima razionalizzare?
Anche perché raccogliendo le potenze di grado massimo come risultato ottengo 2, e non sqrt(2). Cosa sbaglio?
Anche perché raccogliendo le potenze di grado massimo come risultato ottengo 2, e non sqrt(2). Cosa sbaglio?
Quando hai una forma indeterminata del tipo $[oo/oo]$ non è assolutamente necessario. La "razionalizzazione" è utile quando hai una forma indeterminata del tipo $[+oo-oo]$ al numeratore e/o al denominatore, solitamente ci si riduce ad una forma indeterminata del tipo $[oo/oo]$ e si procede come nel primo caso. Quindi:
$\lim_{x\to+\infty}(sqrt(2x^2 + x + 1))/(x-1)=\lim_{x\to+\infty}sqrt(x^2(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to+\infty}(|x|sqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to+\infty}(xsqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=sqrt2$
$\lim_{x\to-\infty}(sqrt(2x^2 + x + 1))/(x-1)=\lim_{x\to-\infty}sqrt(x^2(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to-\infty}(|x|sqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to-\infty}(-xsqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=-sqrt2$
In ogni modo, recuperando un buon manuale Classe V Liceo Scientifico, troverai numerosi esempi. Trattandosi di limiti piuttosto semplici ed essendo uno studente universitario, puoi comprenderne lo svolgimento anche da solo e perdendo meno tempo nell'aspettare eventuali risposte. Quando dovrai calcolare limiti più complessi, allora potrai usufruire del forum in modo più produttivo.
$\lim_{x\to+\infty}(sqrt(2x^2 + x + 1))/(x-1)=\lim_{x\to+\infty}sqrt(x^2(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to+\infty}(|x|sqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to+\infty}(xsqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=sqrt2$
$\lim_{x\to-\infty}(sqrt(2x^2 + x + 1))/(x-1)=\lim_{x\to-\infty}sqrt(x^2(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to-\infty}(|x|sqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=\lim_{x\to-\infty}(-xsqrt(2+1/x+1/x^2))/(x(1-1/x))=-sqrt2$
In ogni modo, recuperando un buon manuale Classe V Liceo Scientifico, troverai numerosi esempi. Trattandosi di limiti piuttosto semplici ed essendo uno studente universitario, puoi comprenderne lo svolgimento anche da solo e perdendo meno tempo nell'aspettare eventuali risposte. Quando dovrai calcolare limiti più complessi, allora potrai usufruire del forum in modo più produttivo.
Grazie!
E grazie anche per il consiglio. Purtroppo come dicevo venendo dal classico riesco a capir bene la teoria ma mi manca del tutto la manualità "meccanica" di far esercizi
Per il resto, so che son limiti facili, ora in teoria con il programma universitario siam già al completo, con integrali e tutto il resto. E il bello è che mi trovo più facile a svolgere limiti più complessi, ad esempio quelli dove servono gli sviluppi di Taylor, e non questi.
E grazie anche per il consiglio. Purtroppo come dicevo venendo dal classico riesco a capir bene la teoria ma mi manca del tutto la manualità "meccanica" di far esercizi
Per il resto, so che son limiti facili, ora in teoria con il programma universitario siam già al completo, con integrali e tutto il resto. E il bello è che mi trovo più facile a svolgere limiti più complessi, ad esempio quelli dove servono gli sviluppi di Taylor, e non questi.
quando hai degli infiniti, grazie al principio di sostituzione degli infiniti (se sbaglio qualcuno mi corregga), nel limite puoi trascurare quelli di ordine inferiore;
in questo modo puoi arrivare più velocemente alla soluzione del limite senza procedere attraverso conti algebrici
in questo modo puoi arrivare più velocemente alla soluzione del limite senza procedere attraverso conti algebrici
"Carmine_XX":Si, ma non è un vero problema. Adesso devi sudare di più, ma nel lungo termine vedrai come ti troverai a miglior partito, se ti abitui fin da adesso a fare le cose per bene. La manualità meccanica è nociva all'apprendimento della matematica, in questa fase.
Grazie!
E grazie anche per il consiglio. Purtroppo come dicevo venendo dal classico riesco a capir bene la teoria ma mi manca del tutto la manualità "meccanica" di far esercizi
E il bello è che mi trovo più facile a svolgere limiti più complessi, ad esempio quelli dove servono gli sviluppi di Taylor, e non questi.
Per forza. Perché lì si deve ragionare e non fare le cose a macchinetta, come piace tanto a chi crede di conoscere la matematica perché ha fatto il liceo scientifico.
Non demordere, e in bocca al lupo!
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