Come risolvere questo limite
$lim_(xto-infty) (x*root{3}(x^3 + 6x^2 -4)+ 3sqrt(5x^2 - 7x + 9) - x^2)/x$
Allora, innanzitutto descrivo il mio procedimento.
Ho fatto questa sostituzione :
$x = 1/t$, con $t to 0^-$
in questo modo ho :
$lim_(t to0^-) t(1/t root{3}(1/(t^3) + 6(1/(t^2)) - 4) + 3sqrt(5(1/(t^2)) - 7/t + 9) - 1/(t^2))$
Attuando tutte le semplificazioni e mettendo in evidenza nelle radici, la forma finale ottenuta è :
$lim_(t to0^-) 1/t - 3sqrt5 - 1/t = -3sqrt5$
Il problema è che il risultato è : $2 - 3sqrt5$ ... quindi non capisco proprio quel 2 da dove esce fuori..
Allora, innanzitutto descrivo il mio procedimento.
Ho fatto questa sostituzione :
$x = 1/t$, con $t to 0^-$
in questo modo ho :
$lim_(t to0^-) t(1/t root{3}(1/(t^3) + 6(1/(t^2)) - 4) + 3sqrt(5(1/(t^2)) - 7/t + 9) - 1/(t^2))$
Attuando tutte le semplificazioni e mettendo in evidenza nelle radici, la forma finale ottenuta è :
$lim_(t to0^-) 1/t - 3sqrt5 - 1/t = -3sqrt5$
Il problema è che il risultato è : $2 - 3sqrt5$ ... quindi non capisco proprio quel 2 da dove esce fuori..
Risposte
"anima123":
$lim_(xto-infty) (x*root{3}(x^3 + 6x^2 -4)+ 3sqrt(5x^2 - 7x + 9) - x^2)/x$
Allora, innanzitutto descrivo il mio procedimento.
Ho fatto questa sostituzione :
$x = 1/t$, con $t to 0^-$
in questo modo ho :
$lim_(t to0^-) t(1/t root{3}(1/(t^3) + 6(1/(t^2)) - 4) + 3sqrt(5(1/(t^2)) - 7/t + 9) - 1/(t^2))$
Attuando tutte le semplificazioni e mettendo in evidenza nelle radici, la forma finale ottenuta è :
$lim_(t to0^-) 1/t - 3sqrt5 - 1/t = -3sqrt5$
Il problema è che il risultato è : $2 - 3sqrt5$ ... quindi non capisco proprio quel 2 da dove esce fuori..
Ciao, ho provato a calcolare il limite (in modo diverso da quello che hai proposto tu) ed anche a me viene il tuo risultato.
Forse è sbagliata la soluzione?
Facendo dei calcoli approssimativi, per esempio inserendo il valore $-9999$, la funzione restituisce un valore molto vicino a $2 - 3sqrt5$, quindi questo dovrebbe essere il risultato corretto. Non capisco da dove venga fuori il $2$.
Molto probabilmente abbiamo fatto delle semplificazioni troppo "azzardate".
$lim_(xto-infty) (x*root{3}(x^3 + 6x^2 -4) - x^2)/x$
$lim_(x to -infty) root{3}(x^3 + 6x^2 -4) - x = lim_(x to -infty) ( root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 )/(1/x) = 2$
Ed ecco il $2$. Ora calcola l'altro pezzo.
(sperando che i miei conti siano giusti)
$lim_(x to -infty) root{3}(x^3 + 6x^2 -4) - x = lim_(x to -infty) ( root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 )/(1/x) = 2$
Ed ecco il $2$. Ora calcola l'altro pezzo.
(sperando che i miei conti siano giusti)
L'altro pezzo è quello che ho lasciato da parte, cioè: $lim_(xto-infty) (3sqrt(5x^2 - 7x + 9) )/x$ .
"Seneca":
$lim_(x to -infty) ( root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 )/(1/x) = 2$
perchè viene $2$?
"lisdap":
Facendo dei calcoli approssimativi, per esempio inserendo il valore $-9999$, la funzione restituisce un valore molto vicino a $2 - 3sqrt5$, quindi questo dovrebbe essere il risultato corretto. Non capisco da dove venga fuori il $2$.
Molto probabilmente abbiamo fatto delle semplificazioni troppo "azzardate".
Per piacere! Questo tipo di conti fanno finire fuori strada.
"Seneca":
[quote="lisdap"]Facendo dei calcoli approssimativi, per esempio inserendo il valore $-9999$, la funzione restituisce un valore molto vicino a $2 - 3sqrt5$, quindi questo dovrebbe essere il risultato corretto. Non capisco da dove venga fuori il $2$.
Molto probabilmente abbiamo fatto delle semplificazioni troppo "azzardate".
Per piacere! Questo tipo di conti fanno finire fuori strada.[/quote]
Era solo per vedere, intuitivamente, se il risultato era corretto. E' ovvio che quello che ho fatto non rappresenta un metodo per dimostrare che il limite è effettivamente quello!
Viene $2$ perché:
$ lim_(x to -infty) ( root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 )/(1/x) = 2$
Qui si può sostituire $ root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 sim 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )$ (limiti notevoli)
$lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )/(1/x) = lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x )/(1/x) = 2 $
$ lim_(x to -infty) ( root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 )/(1/x) = 2$
Qui si può sostituire $ root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 sim 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )$ (limiti notevoli)
$lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )/(1/x) = lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x )/(1/x) = 2 $
"Seneca":
Viene $2$ perché:
$ lim_(x to -infty) ( root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 )/(1/x) = 2$
Qui si può sostituire $ root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 sim 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )$ (limiti notevoli)
$lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )/(1/x) = lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x )/(1/x) = 2 $
Ok grazie, mi hai "rinfrescato" la memoria.
"Seneca":
Viene $2$ perché:
$ lim_(x to -infty) ( root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 )/(1/x) = 2$
Qui si può sostituire $ root{3}(1 + 6/x - 4/x^3) - 1 sim 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )$ (limiti notevoli)
$lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x - 4/x^3 )/(1/x) = lim_( x -> - oo) 1/3 ( 6/x )/(1/x) = 2 $
ehmmmm... non ho capito cosa hai fatto.. hai scritto "limiti notevoli", ma non ne vedo limiti notevoli.. hai messo che le cose sotto la radice sono CIRCA quelle altre cose... però mica ho capito da cosa deriva..
$lim_(y -> 0) ((1 + y)^k - 1)/y = k$, con $k$ fissato.
Da cui si ha che, per $y -> 0$ , $(1 + y)^k - 1 sim k * y$.
Da cui si ha che, per $y -> 0$ , $(1 + y)^k - 1 sim k * y$.
madonna è vero....
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
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