Breve passaggio algebrico su libro di Analisi.
Analisi Matematica 1, Soardi, pag. 135.
Non credo sia importante conoscere il contesto: non riesco a chiarire un passaggio in una dimostrazione. Esattamente: siano $p$ e $k$ numeri reali. La serie è $\sum 1 / (n^p * log^k n)$.
Se $k<0$, posto $p=1+d$, con $d>0$, si ha $[log^(-k) n]/n^(d/2)$.
Tutto quì.
Ma non riesco a giustificarmi il passaggio da $n^(1+d)$ a $n^(d/2)$.
Qualche suggerimento? Grazie.
Non credo sia importante conoscere il contesto: non riesco a chiarire un passaggio in una dimostrazione. Esattamente: siano $p$ e $k$ numeri reali. La serie è $\sum 1 / (n^p * log^k n)$.
Se $k<0$, posto $p=1+d$, con $d>0$, si ha $[log^(-k) n]/n^(d/2)$.
Tutto quì.
Ma non riesco a giustificarmi il passaggio da $n^(1+d)$ a $n^(d/2)$.
Qualche suggerimento? Grazie.
Risposte
Come continua la dimostrazione?
Si ha $((log^(-k) n) / n^(d/2) ) -> 0$, per $n -> +infty$. Ne segue che $(log^(-k) n)
$(1/((n^(p))*log^(k)n))<1/(n^(1+d/2))$, da cui si ha la convergenza della serie -perché $\sum 1/n^p$ converge se $p>1$.
$(1/((n^(p))*log^(k)n))<1/(n^(1+d/2))$, da cui si ha la convergenza della serie -perché $\sum 1/n^p$ converge se $p>1$.
Ho ridato un'occhiata alla dimostrazione. Non si tratta di un passaggio 'puramente' algebrico.
Il termine generale della serie è $1/{n^p * log^(k) n}$. Ora, si pone $k<0$ e $p=1+d$, con $d>0$. In questo modo si ha che la successione $lim_(n->infty) (log^(-k) n) /( n^(d/2))$ tende a $0$. Ne segue che definitivamente $(log^(-k) n) < n^(d/2)$. In questo modo se moltiplico entrambi i membri per $1/n^p$, positivo, mantengo la relazione ("minore-maggiore") fra i due termini e a sinistra ho il termine generale della serie, e a destra ho un termine che lo 'maggiora' (si dice così?), che sono sicuro converga a $0$. Per il teorema del confronto posso assicurare anche la convergenza della serie. Di fatto:
$1/ (n^(p) * log^k n) < (1/ n^(1+d/2))$ con $(1/ n^(1+d/2))->0$.
Qualcuno è d'accordo?
Il termine generale della serie è $1/{n^p * log^(k) n}$. Ora, si pone $k<0$ e $p=1+d$, con $d>0$. In questo modo si ha che la successione $lim_(n->infty) (log^(-k) n) /( n^(d/2))$ tende a $0$. Ne segue che definitivamente $(log^(-k) n) < n^(d/2)$. In questo modo se moltiplico entrambi i membri per $1/n^p$, positivo, mantengo la relazione ("minore-maggiore") fra i due termini e a sinistra ho il termine generale della serie, e a destra ho un termine che lo 'maggiora' (si dice così?), che sono sicuro converga a $0$. Per il teorema del confronto posso assicurare anche la convergenza della serie. Di fatto:
$1/ (n^(p) * log^k n) < (1/ n^(1+d/2))$ con $(1/ n^(1+d/2))->0$.
Qualcuno è d'accordo?
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