Funzioni uniformemente continue
Volevo porvi una questione sulle funzioni uniformemente continue ed in particolare sul teorema di Cantor-Heine.
Il teorema è dimostrato per assurdo, con la negazione della tesi di uniforme continuità. Quindi:
\(\displaystyle \exists \varepsilon > 0 \) tale che \(\displaystyle \forall \delta > 0 \exists \) x1,x2 \(\displaystyle \epsilon \) dominio di f tali che |x1-x2|< \(\displaystyle \delta \) ma |f(x1) - f(x2)| > \(\displaystyle \varepsilon \).
Scegliendo \(\displaystyle \delta \) = 1/n si costruiscono 2 successioni xn e yn tali che
|xn - yn| < \(\displaystyle \delta \) ma |f(xn) - f(yn)| > \(\displaystyle \varepsilon \)
Ora sappiamo che la condizione di uniforme continuità vale se l'intervallo in cui è definita f è chiuso e limitato (ad esempio [a,b]). Dunque xn è limitata e, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, ammette una sottosuccessione xnk convergente. Ma anche ynk è limitata dunque ynkh è convergente. A questo punto il teorema si dimostra utilizzando le due successioni xnkh e ynkh. La mia domanda è : come mai si utilizza una sottosuccessione (ynkh) della sottosuccessione (ynk) di yn? Non è sufficiente affermare che ynk è convergente, visto che anche yn \(\displaystyle \epsilon \) [a,b]?
Il teorema è dimostrato per assurdo, con la negazione della tesi di uniforme continuità. Quindi:
\(\displaystyle \exists \varepsilon > 0 \) tale che \(\displaystyle \forall \delta > 0 \exists \) x1,x2 \(\displaystyle \epsilon \) dominio di f tali che |x1-x2|< \(\displaystyle \delta \) ma |f(x1) - f(x2)| > \(\displaystyle \varepsilon \).
Scegliendo \(\displaystyle \delta \) = 1/n si costruiscono 2 successioni xn e yn tali che
|xn - yn| < \(\displaystyle \delta \) ma |f(xn) - f(yn)| > \(\displaystyle \varepsilon \)
Ora sappiamo che la condizione di uniforme continuità vale se l'intervallo in cui è definita f è chiuso e limitato (ad esempio [a,b]). Dunque xn è limitata e, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, ammette una sottosuccessione xnk convergente. Ma anche ynk è limitata dunque ynkh è convergente. A questo punto il teorema si dimostra utilizzando le due successioni xnkh e ynkh. La mia domanda è : come mai si utilizza una sottosuccessione (ynkh) della sottosuccessione (ynk) di yn? Non è sufficiente affermare che ynk è convergente, visto che anche yn \(\displaystyle \epsilon \) [a,b]?
Risposte
"Roxie":
[...]
Ora sappiamo che la condizione di uniforme continuità vale se l'intervallo in cui è definita f è chiuso e limitato (ad esempio [a,b]). Dunque xn è limitata e, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, ammette una sottosuccessione xnk convergente. Ma anche ynk è limitata dunque ynkh è convergente.
Da qua in poi non ho più capito niente... Hai costruito due successioni $x_n , y_n in [a,b]$ (ma perché proprio un intervallo chiuso e limitato? La dimostrazione, la stessa che stai proponendo funziona anche per un insieme $A$ chiuso e limitato) tali che $| x_n - y_n | <= delta = 1/n$.
$x_n in [a,b]$ chiuso e limitato, quindi da $x_n$ si può estrarre una sottosuccessione $x_(n_k) in [a,b]$ tale che $x_(n_k) -> x_0 in [a,b]$. Ma anche $y_(n_k)$ per gli stessi indici converge a $x_0$; infatti:
$| y_(n_k) - x_0 | <= | y_(n_k) - x_(n_k) | + | x_(n_k) - x_0|$ ... con $| y_(n_k) - x_(n_k) |$,$| x_(n_k) - x_0| -> 0$ per $k -> +oo$.
Allora, per la continuità della $f$, $lim_(k -> +oo) f(x_(n_k)) = f(x_0)$ e $lim_(k -> +oo) f(y_(n_k)) = f(x_0)$... Dunque:
$| f(y_(n_k)) - f(x_(n_k)) | -> 0$ in contraddizione con il fatto che $|f(x_n) - f(y_n) | >= epsilon$, con $epsilon > 0$ fissato.
"Seneca":
[quote="Roxie"][...]
Ora sappiamo che la condizione di uniforme continuità vale se l'intervallo in cui è definita f è chiuso e limitato (ad esempio [a,b]). Dunque xn è limitata e, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, ammette una sottosuccessione xnk convergente. Ma anche ynk è limitata dunque ynkh è convergente.
Da qua in poi non ho più capito niente... Hai costruito due successioni $x_n , y_n in [a,b]$ (ma perché proprio un intervallo chiuso e limitato? La dimostrazione, la stessa che stai proponendo funziona anche per un insieme $A$ chiuso e limitato) tali che $| x_n - y_n | <= delta = 1/n$.
$x_n in [a,b]$ chiuso e limitato, quindi da $x_n$ si può estrarre una sottosuccessione $x_(n_k) in [a,b]$ tale che $x_(n_k) -> x_0 in [a,b]$. Ma anche $y_(n_k)$ per gli stessi indici converge a $x_0$; infatti:
$| y_(n_k) - x_0 | <= | y_(n_k) - x_(n_k) | + | x_(n_k) - x_0|$ ... con $| y_(n_k) - x_(n_k) |$,$| x_(n_k) - x_0| -> 0$ per $k -> +oo$.
Allora, per la continuità della $f$, $lim_(k -> +oo) f(x_(n_k)) = f(x_0)$ e $lim_(k -> +oo) f(y_(n_k)) = f(x_0)$... Dunque:
$| f(y_(n_k)) - f(x_(n_k)) | -> 0$ in contraddizione con il fatto che $|f(x_n) - f(y_n) | >= epsilon$, con $epsilon > 0$ fissato.[/quote]
Il mio testo considera un intervallo chiuso e limitato, per questo l'ho scritto. Comunque questa è anche la dimostrazione del mio testo.
E ti è chiara?
La dimostrazione in sè sì, solo che non ho capito come mai bisogna usare una sottosuccessione della sottosuccessione, come dicevo prima...
Io non l'ho usata...
Allora è come penso io: non è necessario utilizzare una sottosuccessione ynkh della sottosuccessione yn. Si può dire già che, essendo xn e yn limitate, xnk e ynk sono convergenti.
Certo.
1.
Da quando in qua una successione limitata è convergente?
2.
Poiché x_n è limitata, si può estrarre una sottosuccessione convergente x_n_k
Dopodiché la corrispondente estratta y_n_k è convergente (SENZA dover fare ulteriori estrazioni) perché la distanza tra x_n e y_n va a zero ERGO lo stesso vale per le loro sottosuccessioni estratte
Da quando in qua una successione limitata è convergente?
2.
Poiché x_n è limitata, si può estrarre una sottosuccessione convergente x_n_k
Dopodiché la corrispondente estratta y_n_k è convergente (SENZA dover fare ulteriori estrazioni) perché la distanza tra x_n e y_n va a zero ERGO lo stesso vale per le loro sottosuccessioni estratte
"Fioravante Patrone":
1.
Da quando in qua una successione limitata è convergente?
2.
Poiché x_n è limitata, si può estrarre una sottosuccessione convergente x_n_k
Dopodiché la corrispondente estratta y_n_k è convergente (SENZA dover fare ulteriori estrazioni) perché la distanza tra x_n e y_n va a zero ERGO lo stesso vale per le loro sottosuccessioni estratte
Infatti...Invece sul libro c'è scritto che bisogna estrarre una ynkh e anche il prof che mi insegna analisi uno dice così... boh...
Volendo si può anche estrarre una ulteriore sottosuccessione, ma non è necessario farlo.
"Rigel":
Volendo si può anche estrarre una ulteriore sottosuccessione, ma non è necessario farlo.
Perfetto, grazie mille allora!!
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