Funzione (continua) non derivabile in nessun punto

[Seneca1]

Per dimostrare che la funzione $f(x) := sum_(k=0)^(+oo) (3/4)^k * sin( 4^k x )$ non è derivabile in nessun punto $x in RR$ come si potrebbe procedere?

[Rigel1]

Puoi dare un'occhiata qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function
(In generale, se cerchi su google "nowhere differentiable function" trovi un sacco di roba.)

Grosso modo, fissato $x\in\RR$, per ogni $n\in\NN$ fissi $\delta_n = \frac{\pi}{2} 4^{-n}$ e stimi il modulo del rapporto incrementale $|\frac{f(x+\delta_n) - f(x)}{\delta_n}|$, facendo vedere che diverge a $+\infty$.

[Paolo902]

Consiglio anche di buttare uno sguardo qui.

"Rigel":(In generale, se cerchi su google "nowhere differentiable function" trovi un sacco di roba.)

Leggendo l'affermazione di Rigel e (ri)leggendo anche i post di dissonance nel thread indicato sopra, mi sorge spontanea una domanda: l'insieme delle funzioni continue mai differenziabili è per caso denso in $C(a,b)$?

Ammesso che sia vero, si dimostrerà usando la teoria di Baire, immagino (spazi di prima o seconda categoria). Tutte cose che, purtroppo, non mai avuto il tempo di approfondire...

[Rigel1]

Infatti l'insieme delle funzioni "nowhere differentiable" è di seconda categoria nello spazio delle funzioni continue (munito della topologia uniforme).

[albertobosia]

"Paolo90":Leggendo l'affermazione di Rigel e (ri)leggendo anche i post di dissonance nel thread indicato sopra, mi sorge spontanea una domanda: l'insieme delle funzioni continue mai differenziabili è per caso denso in $C(a,b)$?

Ammesso che sia vero, si dimostrerà usando la teoria di Baire, immagino (spazi di prima o seconda categoria). Tutte cose che, purtroppo, non mai avuto il tempo di approfondire...

tempo fa avevo cercato alcune cose al riguardo
http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf
in questa tesi viene trattato l'argomento in modo esaustivo.
l'ultimo teorema (il 4.8 a pag 84) dice che quasi tutte le funzioni sono mai differenziabili
non parla proprio di densità ma potrebbe esserti utile

[dissonance]

"Paolo90":l'insieme delle funzioni continue mai differenziabili è per caso denso in $C(a,b)$?

"Rigel":Infatti l'insieme delle funzioni "nowhere differentiable" è di seconda categoria nello spazio delle funzioni continue (munito della topologia uniforme).

Però, essere "di seconda categoria" non implica la densità. Ad esempio, pensavo che \([0, 1]\) è di seconda categoria in \(\mathbb{R}\) ma non è denso mentre \(\mathbb{Q}\) è di prima categoria ed è denso. Quindi state dicendo cose diverse. Eppure apparentemente la proprietà di "essere di seconda categoria" viene interpretata come se "quasi tutte" le funzioni continue fossero mai differenziabili. Mah.
Sono cose di cui non capisco nulla, però motivato da questo topic ho fatto un giretto in rete e ho scoperto un libriccino che parla proprio di questo: Oxtoby, Measure and Category

http://books.google.it/books?id=wUDjoT5 ... &q&f=false

Prima o poi ci darò un'occhiata (spero).

[Rigel1]

Hai ragione, ma la densità in questo caso è immediata, visto che puoi costruire funzioni mai derivabili di norma (uniforme) piccola a piacere.

Edit: forse la cosa non è così immediata...
C'è quest'articolo che mi sembra interessante:
http://www.ams.org/journals/proc/1994-1 ... /home.html

[Paolo902]

Bene, bene, vi ringrazio per i vostri interventi (e mi scuso con Seneca per l'intromissione).

[Seneca1]

Ma quale intromissione...

Grazie a tutti i partecipanti.