Coordinate polari e serie di potenze

[bimbozza]

1) Ho qualche problema con le coordinate polari.
Sò che, ad esempio:

[math]x=\rho \cos \theta, y= \rho \sin \theta[/math]

è una circonferenza, che

[math]x=a cos t[/math]

[math] y=b sint[/math]

è un ellisse ;

[math]x=a cost,[/math]

[math] y=a sint,[/math]

[math] z=bt[/math]

è un'elica etc. ma non sò riconoscere le varie figure quando sono nella forma

[math] \rho= qualcosa[/math]

tipo, giusto per fare un paio di esempi,

[math]\rho=\sin \theta \cos \theta [/math]

o

[math]\rho=2[/math]

. Ho cercato in diversi libri ed in internet ma non ho trovato nulla. Mi potreste dare una mano a capire le varie parametrizzazioni? o se avete un pdf o un link in cui trovarle perchè sono abbastanza demoralizzata...

2)Come faccio a capire qual'è la somma di una serie di potenze? Tipo,nel caso di

[math]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{3^n}{n!e^{3e}} (x-e)^n [/math]

, riesco a intuire che è un qualcosa di simile alle serie di

[math]e^{-x} [/math]

, ma niente di più...

[ciampax]

1) Per riconoscere la forma cartesiana di una curva in forma polare (

[math]\rho=[/math]

qualcosa.... stendiamo un velo pietoso! :asd) basta usare la forma "inversa" delle coordinate polari stesse. Ad esempio per

[math]\rho=2[/math]

ricordando che

[math]\rho=\sqrt{x^2+y^2}[/math]

si ha

[math]\sqrt{x^2+y^2}=2[/math]

e quindi

[math]x^2+y^2=4[/math]

(una circonferenza... tra l'altro logicamente l'unica curva con "raggio" costante).

Per l'altra curva

[math]\rho=\sin\theta \cos\theta[/math]

, visto che

[math]\sin\theta=x/\rho,\ \cos\theta=y/\rho[/math]

si ha

[math]\rho=\frac{xy}{\rho^2}\ \Rightarrow\ \rho^3=xy\ \Rightarrow\ (x^2+y^2)^{3/2}=xy\ \Rightarrow\ (x^2+y^2)^3=x^2 y^2[/math]

che non è una curva immediatamente riconoscibile.



2) Quello che si cerca di fare è riportare la serie in una forma nota. Nel tuo caso si "vede" che c'è affinità con la serie

[math]\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}=e^t[/math]

. Possiamo procedere così

[math]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{3^n}{n! e^{3e}}(x-e)^n= \frac{1}{e^{3e}}\sum_{n=0}^\infty \frac{[-3(x-e)]^n}{n!}=\frac{1}{e^{3e}} e^{-3(x-e)}=e^{-3x}[/math]

[bimbozza]

per la 2) ho capito... per l'1 ho ancora qualche dubbio su cosa possa essere

[math]\rho=\sin \theta \cos \theta[/math]

...visto le scelte possibili (retta, spirale, ellisse,circonferenza) opterei per spirale... ma, visto che sono in argomento, avrei un'altra domanda sullo stesso argomento:

trasformando una corona circolare da coordinate cartesiane a coordinate polari, si ottiene: un triangolo, un cerchio o un rettangolo?

allora, presa una corona circolare a caso,

[math]x^2+y^2>4 [/math]

e

[math]x^2+y^24 [/math]

e quindi valori

[math]\rho2[/math]

e per

[math]\rho^2-4 [/math]

e [math]\rho