Integrale da risolvere

[Blue_87]

Cari ragazzi,
un problema mi perseguita.
Come faccio a calcolare l'integrale su \(\displaystyle R \) della funzione $f_n(x)=e^{-nx^4}$ per poi calcolare il limite di tale integrale al divergere di $n$. Il risultato è 0. Non devo usare metodi numerici e ricorrere alle serie. L'unica idea che mi viene è cercare una funzione/successione maggiorante il cui integrale al divergere di $n$ fa zero.

[girdav]

Calcolare mi sembra dificile, ma per mostrare che il limite è $0$, si puo scrivere che $\int_{\mathbb R}f_n(x)=2\int_0^{+\infty}e^{-nx^4}dx\leq 2\int_1^{+\infty}e^{-nx}+2\int_0^1e^{-nx^4}=\frac{-2}n[e^{-nx}]_0^{+\infty}+2\int_0^1e^{-nx^4}=\frac 2n+2\int_0^1e^{-nx^4}$.
Basta mostrare che la seconda integrale tende verso $0$. Per questo, si può fissare $\delta >0$: $\int_0^1e^{-nx^4}\leq \delta+(1-\delta)e^{-n\delta^4}$.

[Blue_87]

Ho capito tutti i passaggi tranne l'ultimo. Come fai a dimostrare che l'ultimo integrale tende a 0 al divergere di $n$?

[albertobosia]

scusate, sarebbe sbagliato fare così?

\(e^{-nx^4}\) è una successione di funzioni uniformemente convergente a \(f(x)=\begin{cases}
1 & \text{ se } x=0 \\
0 & \text{ se } x\neq0
\end{cases}\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}e^{-nx^4}\text dx=\int_{\mathbb R}\lim_{n\to\infty}e^{-nx^4}\text dx=\int_{\mathbb R}f(x)\text dx=0\)

[girdav]

"Blue_87":Ho capito tutti i passaggi tranne l'ultimo. Come fai a dimostrare che l'ultimo integrale tende a 0 al divergere di $n$?

Prendi il limite superiore: sara più piccolo di $\delta$ per ogni $\delta >0$, dunque è $0$.

[Sk_Anonymous]

"albertobosia":
\(e^{-nx^4}\) è una successione di funzioni uniformemente convergente a...

Se fosse uniformemente convergente, la funzione limite dovrebbe essere continua.

[Blue_87]

Non dove usare i teoremi sulla convergenza, mi sono dimenticato di dirvelo!