Equazione numeri complessi
$ z^6 + z^3 + i = 0 $
io inizierei ricrivendola come
$A^2 + A + i = 0 $
$ A = (-1 \pm sqrt(1 -4i))/ 2 $
e poi ponendo $ (a +bi)^2 = 1-4i $ ottenendo a e b che sono le due radici quadrate
non sono sicuro che sia l'approccio corretto.chi mi puo' dare un imput? soprattutto per come iniziare a trattare l' equazione della traccia , se e' da scomporre o altro
io inizierei ricrivendola come
$A^2 + A + i = 0 $
$ A = (-1 \pm sqrt(1 -4i))/ 2 $
e poi ponendo $ (a +bi)^2 = 1-4i $ ottenendo a e b che sono le due radici quadrate
non sono sicuro che sia l'approccio corretto.chi mi puo' dare un imput? soprattutto per come iniziare a trattare l' equazione della traccia , se e' da scomporre o altro
Risposte
L'approccio è giusto: ma non è mica vero che $a,\ b$ sono radici qudrate. Quello che vuoi fare è trovare le due radici di $1-4i$, cioè i numeri complessi $a+ib$ tali che $(a+ib)^2=1-4i$. Per farlo, osserva che euqlla equazione equivale al sistema
$a^2-b^2=1,\ 2ab=-4$
$a^2-b^2=1,\ 2ab=-4$
si scusa mi sono espresso male...comunque continuando
$ a = -2/b $
$ 4/b^2 - b^2 -1 = 0 $ che diventa $ 4 - b^4 - b^2 =0 $ quindi $ - b^2 - b +2 =0 $
$ b = (1 pm sqrt(1+ 8))/ -2 $ quindi $ b1 = -2 $ e $b2 =1 $ e rispettivamente $a1 = 1 $ $a2= -2 $
quindi le due radici di $ 1-4i $ sono $ 1 -2i $ ed $ -2 +i $
ricavando
$ A(1,2) = (-1 pm 1 -2i)/2 $ e $A(3,4) = (-1 pm -2 +i)/2$
$ A1 = -1 $ ,$A2 = -1 -2i $ , $ A3 =(-3 +i)/2 $ , $ A4= (-1 +i) /2 $
queste sono le soluzioni di$ A^2 + A + i$
e per passare alla soluzione di $z^6 + z^3 +i = 0 $ come si procede? sono le stesse?
$ a = -2/b $
$ 4/b^2 - b^2 -1 = 0 $ che diventa $ 4 - b^4 - b^2 =0 $ quindi $ - b^2 - b +2 =0 $
$ b = (1 pm sqrt(1+ 8))/ -2 $ quindi $ b1 = -2 $ e $b2 =1 $ e rispettivamente $a1 = 1 $ $a2= -2 $
quindi le due radici di $ 1-4i $ sono $ 1 -2i $ ed $ -2 +i $
ricavando
$ A(1,2) = (-1 pm 1 -2i)/2 $ e $A(3,4) = (-1 pm -2 +i)/2$
$ A1 = -1 $ ,$A2 = -1 -2i $ , $ A3 =(-3 +i)/2 $ , $ A4= (-1 +i) /2 $
queste sono le soluzioni di$ A^2 + A + i$
e per passare alla soluzione di $z^6 + z^3 +i = 0 $ come si procede? sono le stesse?
Come fa una equazione di quarto grado: $4-b^4-b^2=0$ a diventare di secondo grado? Come fai a trasformarla così $-b^2-b+2=0$????????
dato che prima ho chiamato $ z^3 =A $
ora chiamo $ b^2 = B $ e diventa $ - B^2 - B + 4 = 0$
$ B1 = (1 + sqrt(1+ 16)) / -2 $ e $ B2 = (1 - sqrt(1+ 16)) / -2 $
per trovare le incognite b1 e b2 devo prendere le radici quadrate di B1 e B2 ? cioe'
$ b1 =pm sqrt ((1 + sqrt(17)) / -2 )$ e $ b2 = pm sqrt ((1 - sqrt(17)) / -2 ) $
b1 è da scartare perchè il termine sotto la radice e' negativo , quindi trovo le due soluzioni di a2
$ a = -2/b $ da cui $ a1 = -2 /sqrt ((1 - sqrt(17)) / -2 ) $ e $ a2 = 2 / sqrt ((1 - sqrt(17)) /-2 ) $
trovo cosi' le soluzioni della A
e poi per trovare le incognite di z devo fare le radice cubiche delle A ?
che casino
ora chiamo $ b^2 = B $ e diventa $ - B^2 - B + 4 = 0$
$ B1 = (1 + sqrt(1+ 16)) / -2 $ e $ B2 = (1 - sqrt(1+ 16)) / -2 $
per trovare le incognite b1 e b2 devo prendere le radici quadrate di B1 e B2 ? cioe'
$ b1 =pm sqrt ((1 + sqrt(17)) / -2 )$ e $ b2 = pm sqrt ((1 - sqrt(17)) / -2 ) $
b1 è da scartare perchè il termine sotto la radice e' negativo , quindi trovo le due soluzioni di a2
$ a = -2/b $ da cui $ a1 = -2 /sqrt ((1 - sqrt(17)) / -2 ) $ e $ a2 = 2 / sqrt ((1 - sqrt(17)) /-2 ) $
trovo cosi' le soluzioni della A
e poi per trovare le incognite di z devo fare le radice cubiche delle A ?
che casino
^_^
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