Analisi matematica di base
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Salve a tutti, sono bloccato nello studio del seguente problema alle derivate parziali, cui traccia recita:
Sia \( \alpha \ge 0 \) e \( u(x, y) \) soluzione dell'equazione
\[ x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \alpha\, u \]
Sapendo che \( u(x,y) = 1 \) sulla circonferenza \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1 \} \),determinare i valori di
\( u(x, y) \).
Allora si procede con lo studio di \( \alpha=0 \), nel cui caso si ha un sistema omogeneo.
Si trovano ...
$\lim_{x \to \0}(1-sqrt(cos(x)))/(x^2)$
$=\lim_{x \to \0}(1-sqrt(cos(x)))/(x^2)*[(1+sqrt(cos(x)))/(1+sqrt(cos(x)))]=$ ...
$int int int_T (x^2/(1+z^2))dxdydz$
$T={(xyz)inR^3:x^2+y^2<=z^2+1,|z|<=1}$
non riesco a trovare gli estremi di integrazione... ho molte difficoltà.
ciao a tutti dovrei risolvere questo integrale ma non riesco proprio a capirlo qualcuno mi potrebbe illuminare? grazie mille
\(\displaystyle \int ( x^7* cos(x)) \)
Al variare di $\alpha$ trova il valore del limite:
$\lim_{x->oo} (x^{\alpha}(e^{-x} - x)(x^2 \log (1 + 1/x^2) - \cos (1/x)))$
Allora siccome l'esponente di $e^{-x}$ tende a $ + oo$ non si può usare taylor.
$\cos (1/x) = 1 - 1/(2x^2) + o(1/x^2)$
$\log (1 + 1/x^2) = 1 / x^2 + o(1/x^2)$
Quindi $\lim_{x->oo} (x^{\alpha}(e^{-x} - x)(x^2 \log (1 + 1/x^2) - \cos (1/x)))$ $=$ $x^{\alpha}(e^{-x}-x)(1 / (2x^2) + o(1/x^2))$ ma ora? $e^{-x} = o(x)$ ?
Grazie
Buonasera, credo di avere un po' di confusione in testa sull'appartenenza delle funzioni in questi spazi, e riporto qui un paio di esercizi su cui ho dei dubbi, sperando che qualcuno possa aiutarmi a fare un po' di luce:
Determinare per quali $p \in [0, +\infty]$, $u \in L^p(\Omega)$, con $\Omega =(0, +\infty)$
$u(x) = sinx/x$
Semberebbe che $u \in L^(\infty)$ perchè limitata, ma in realtà dato che non è Lebesgue-integrabile (perchè non converge l'integrale del modulo), essa non appartiene ad alcuno ...
Non riesco a capire come possa una funzione derivabile avere la derivata non continua: la definizione dice che $f$ è continua in $x_0$ se esiste ed è finito il limite $lim_(x to x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = f'(x_0)$. Ora, come può la derivata può non essere continua?
A tal proposito ho visto un esempio che però non mi ha per niente chiarito le idee: $f(x)={\(x^2*sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$
Si ha che $f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)$ con $x!=0$, ma cosa succede in $x=0$? Se si calcolano i limiti a ...
Se io avessi un limite del genere $\lim_{x->0}$ $1 / (f(x) + g(x))$ oppure $f(x) + g(x)$
Sapendo che $\lim_{x->0} f(x) / g(x) = 0$ e quindi che $f(x) = o (g(x))$ il limite iniziale sarebbe $\lim_{x->0} 1 / (f(x)+ g(x)) \sim 1 / g(x)$ oppure nel secondo caso $\sim g(x)$ ?
Con le stesse funzioni se avessi $\lim_{x->oo} 1 / (f(x) + g(x))$ oppure $f(x) + g(x)$ in questo caso sarebbe $g(x) = o(f(x))$ giusto? Quindi il limite verrebbe $\lim_{x->oo}$ $1 / (f(x) + g(x)) \sim 1 / f(x) $ oppure $\sim f(x)$ nell'altro caso. Così?
Più ...
se A è un'intervallo chiuso e limitato, f(A) e limitata. che teorema è? non riesco a trovarlo...
Ad esempio se ho $\lim_{x->oo} \frac{\log (4x^2 + 1)}{ \log (8x^3 + 1)}$ posso applicare la regola facendo la derivata del numeratore e del denominatore.
$\lim_{x->oo} \frac{\frac{8x}{4x^2 + 1}}{\frac{24x^2}{8x^3 + 1}}$ Se applicassi di nuovo la regola sarebbe:
$\lim_{x->oo} \frac{\frac{8}{8x}}{\frac{48x}{24x^2}}$ ? Il tutto farebbe $1/2$ anche se dovrebbe uscire $2/3$ dove sbaglio?
Grazie
Domanda estremamente semplice, per determinare Sup e Inf mi è sempre stato detto di studiare i limiti per +-infinito e nei punti esclusi dal dominio.
Nel caso tuttavia di una funzione tipo la campana di Gauss, con dominio tutto R, questo procedimento non mi aiuterebbe a trovare il Sup, che invece troverei (in questo singolo caso) annullando la derivata.
La domanda è: nel caso di funzioni non-palesi, il cui andamento non si può dedurre "a occhio", per trovare Sup e Inf bisogna sempre anche ...
Nello studio del massimi e minimi assoluti, ho bisogno di parametrizzare le rette che compongono il triangolo in figura
http://img804.imageshack.us/img804/8714/tyed.jpg
non conoscendo le formule ho sempre parametrizzato "ad occhio ", cioè la $t$ era assegnata alla variabile verso cui era rivolta la retta, e all'altra variabile era assegnato un numero che indicava la distanza della retta stessa rispetto all'asse. Adesso mi trovo in difficoltà con questa figura in quanto nel segmento inclinato ...
Allora ho il seguente esercizio da risolvere:
Usando la trasformata di Laplace, trovare \(\displaystyle y(t) \) che risolva per \(\displaystyle t \ge0 \) il seguente problema, ora queste tre equazioni sono messe a sistema:
\(\displaystyle y''(t) = y(t)\star t\)
\(\displaystyle y(0)=0 \)
\(\displaystyle y'(0)=1 \)
dove \(\displaystyle \star \) indica il prodotto di convoluzione.
La prima cosa che vorrei chiedere è se qualcuno mi sa spiegare in maniera semplice e se possibile con riferimento a ...
Esercizio:
Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze \(\sum_{n\geq 1} a_n\ x^n\), ove:
\[
a_n:=\int_0^n \exp \left( \frac{t^2}{n}\right)\ \text{d}t\; .
\]
Ciao a tutti,
sto facendo degli esercizi sulle funzioni e ho dei dubbi.
Ho la seguente funzione della quale devo determinare dominio segno e intersezione con gli assi:
$f(x)=(3-2x^2)/(x^2+4)$
Per quanto riguarda il dominio, credo che sia l'insieme R dal momento che $x^2$ $!=$ $-4$ è impossibile
Invece per il segno ho dei problemi perché ponendo sia numeratore che denominatore maggiori di zero, al denominatore non vengono soluzioni reali.
Cosa significa?
nel corso della ultime settimane vi ho chiesto altre volte delucidazioni su argomenti che riguardavano la soluzione di un problema di cauchy. Dopo un bel po' di letture mi sono rimasti dei dubbi che vorrei risolvere col vostro aiuto.
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} y' &= f(x,y)\\ y(x_0) & = y_0 \end{array} \right. \)
Quando si vuole avere la certezza che per un problema di cauchy esista unica la soluzione locale in un intorno di $(x_0)$ (o $t_0$ che dir ...
Salve a tutti; desideravo porvi questo quesito:
avendo una funzione da R in R derivabile, con f'(x) >=0 per ogni punto di x appartenete al dominio; supponendo che la derivata si annulli solo in x=1,2,3, allora:
-f è non decrescente ma non strettamente crescente
-f ha almeno un punto di minimo e un punto di massimo
-f è strettamente crescente
-f non è integrabile in senso generalizzato in [0,+∞)
La funzione che ho ipotizzato è strettamente crescente e si comporta nei punti "critici" in ...
Ciao a tutti,
mi piacerebbe avere la vostra opinione riguardo lo studio qualitativo della seguente equazione differenziale:
\[ y'(x) = \log (1 - \sqrt{\mid y(x) \mid} ) \]
In particolare, mi interesserebbero le vostre opinioni riguardo al mio problema, che consiste nello stabilire l'insieme di condizioni iniziali per cui la soluzione esiste ed è unica, sia localmente che globalmente.
Grazie a tutti.
Salve a tutti..è il mio primo messaggio su questo Forum
Ho dei dubbi sullo studio di convergenza di questa serie direi banale..
$\sum_{n=1}^infty -1^n*1/log(n)^(1/2)$
questa serie non converge assolutamente e sono risucito a farlo..però potrebbe convergere semplicemente, o sbaglio?
Ho pensato di usare il criterio asintotico e di trovare una serie maggiorante convergente.. ma non riesco a trovarla..
Devo trovare una serie che facendo il limite con quella presa in esame dia un numero finito, giusto?
Ma si va a ...
Buona sera a tutti, ho un dubbio su un esercizio teorico riguardo le serie geometriche:
avendo una serie geometrica di ragione q (da 1 a ∞); se per ogni n naturale il resto n-esimo (cioè la somma delle serie geometriche di ragione q da k=n a ∞) è minore dell' (n-1)-esimo termine, allora:
-|q|
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