Calcolare, al variare del parametro alpha il limite
Buon giorno,
mi potreste aiutare a capire come devo risolvere questo genere di esercizi :
Calcolare al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \in R \), il valore del limite:
\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup2\log \lgroup\frac{2n^2+1}{2n^2}\rgroup}-sen\frac{1}{n^2}\rgroup \)
accompagnatemi passo passo se potete.
Io ho pensato che questo diventi
\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup\frac{e}{n^2}-sen\frac{1}{n^2}}\rgroup \)
poi? e soprattutto con \(\displaystyle \alpha \) come devo comportarmi?
grazie
mi potreste aiutare a capire come devo risolvere questo genere di esercizi :
Calcolare al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \in R \), il valore del limite:
\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup2\log \lgroup\frac{2n^2+1}{2n^2}\rgroup}-sen\frac{1}{n^2}\rgroup \)
accompagnatemi passo passo se potete.
Io ho pensato che questo diventi
\(\displaystyle lim_{x\to\infty}n^\alpha{\lgroup\frac{e}{n^2}-sen\frac{1}{n^2}}\rgroup \)
poi? e soprattutto con \(\displaystyle \alpha \) come devo comportarmi?
grazie
Risposte
il primo logaritmo ti diventa \(\displaystyle \log \left(1+\frac{1}{2n^2}\right) \)
quindi hai \(\displaystyle n^\alpha \left(2\log \left(1+\frac{1}{2n^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \)
ora dovresti essere in grado di svolgere..usando gli sviluppi di Mc Laurin de logaritmo e del seno! Prova
quindi hai \(\displaystyle n^\alpha \left(2\log \left(1+\frac{1}{2n^2}\right)-\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \)
ora dovresti essere in grado di svolgere..usando gli sviluppi di Mc Laurin de logaritmo e del seno! Prova
ma Mc Laurin riguarda le serie?
non solo le serie anche i limiti
basta che \(\displaystyle x\rightarrow0 \)
per esempio..
lo sviluppo del logaritmo è \(\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+.....+(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^k) \)
quella \(\displaystyle x \) dentro al logartimo deve tendere a \(\displaystyle 0 \)
basta che \(\displaystyle x\rightarrow0 \)
per esempio..
lo sviluppo del logaritmo è \(\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+.....+(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^k) \)
quella \(\displaystyle x \) dentro al logartimo deve tendere a \(\displaystyle 0 \)
21ziculo me lo potresti spiegare per favore? come ci sei arrivato? come ci arrivo? 
grazie mille
grazie mille
l'utente 21zuclo ci è arrivato perchè o si ricorda lo sviluppo di McLaurin del logaritmo oppure è andato a vedere sulla tabella degli sviluppi!
Basta cercare via web la tabella degli sviluppi di Mc Laurin, puoi applicare Mc Laurin solo quando \(\displaystyle x\rightarrow0 \) ma NON che deve tendere a \(\displaystyle 0 \) il limite.. ma quello che c'è dentro al logaritmo!
Stessa cosa vale per \(\displaystyle \sin\left(\frac{1}{n^2}\right) \)
qua in questo esercizio, invece di essere \(\displaystyle x\rightarrow0 \) è \(\displaystyle n\rightarrow0 \) STESSA ED IDENTICA COSA..
Basta cercare via web la tabella degli sviluppi di Mc Laurin, puoi applicare Mc Laurin solo quando \(\displaystyle x\rightarrow0 \) ma NON che deve tendere a \(\displaystyle 0 \) il limite.. ma quello che c'è dentro al logaritmo!
Stessa cosa vale per \(\displaystyle \sin\left(\frac{1}{n^2}\right) \)
qua in questo esercizio, invece di essere \(\displaystyle x\rightarrow0 \) è \(\displaystyle n\rightarrow0 \) STESSA ED IDENTICA COSA..
mmm scusate veramente il disturbo, ma non l'ho mai fatto quindi non so come muovermi visto che ho altri esempio potreste impostarmelo un attimo poi cercherò di fare gli altri scusate
visto che ho altri esempio potreste impostarmelo un attimo poi cercherò di fare gli altri scusate
Come non l'hai mai fatto?..al tuo corso di analisi matematica, non ti hanno detto che si chiamano Sviluppi di McLaurin (o Mac Laurin)
praticamente visto che questo è un limite di successione..devi usare gli sviluppi di successioni, che sono uguali agli sviluppi di Mc Laurin delle funzioni (le vedrai più avanti se non le hai ancora viste)..
praticamente visto che questo è un limite di successione..devi usare gli sviluppi di successioni, che sono uguali agli sviluppi di Mc Laurin delle funzioni (le vedrai più avanti se non le hai ancora viste)..
magari hai fatto solo gli asintotici...che sono gli sviluppi di primo grado...ad esempio il seno ti diventerebbe semplicemente
$sin(1/x^2)$ (asintotico a) $1/x^2$ per $x->oo$
$sin(1/x^2)$ (asintotico a) $1/x^2$ per $x->oo$
esatto! quello che dice StefanoMDj
è praticamente questo
\(\displaystyle \sin (e_n)\sim e_n \) per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \) e \(\displaystyle e_n\rightarrow0 \)
è praticamente questo
\(\displaystyle \sin (e_n)\sim e_n \) per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \) e \(\displaystyle e_n\rightarrow0 \)
si questi li ho fatti..e a proposito di questo possibile che mi sia capitato
\(\displaystyle sen x\thickapprox x \) per \(\displaystyle x\to0 \)
e
\(\displaystyle sen x \thickapprox x \) per \(\displaystyle x\to \infty \)
che differenza c'è?
\(\displaystyle sen x\thickapprox x \) per \(\displaystyle x\to0 \)
e
\(\displaystyle sen x \thickapprox x \) per \(\displaystyle x\to \infty \)
che differenza c'è?
"Sagittarioromano":
si questi li ho fatti..e a proposito di questo possibile che mi sia capitato
\(\displaystyle sen x\thickapprox x \) per \(\displaystyle x\to0 \)
e
\(\displaystyle sen x \thickapprox x \) per \(\displaystyle x\to \infty \)
che differenza c'è?
Non è corretta la seconda
e come mai una volta ho trovato una cosa del genere? forse non era proprio cosi..possibile che nelle successioni sia possibile una cosa del genere? simile almeno, mi pare fosse in quelle
No, la seconda non solo non è corretta: è la più grossa idiozia che uno possa scrivere! 
Secondo me, la versione giusta della seconda che hai trovato è la seguente:
$\sin\ {1}/{x} \sim 1/x$ se $x\to\infty$
Secondo me, la versione giusta della seconda che hai trovato è la seguente:$\sin\ {1}/{x} \sim 1/x$ se $x\to\infty$
lol 
a me un amico mi aveva detto cosi..comunque me lo sapresti dimostrare ciampax?
a me un amico mi aveva detto cosi..comunque me lo sapresti dimostrare ciampax?
Cosa dovrei dimostrarti?
No niente scusami..cmq una domanda, nel caso il limite riuscissi a farlo poi con quell' alpha che devo farci?
scusami..cmq una domanda, nel caso il limite riuscissi a farlo poi con quell' alpha che devo farci?
Ciao
Non sempre gli amici hanno ragione,anche se ascoltarli e confrontar le proprie idee con le loro è importante:
a me comunque non risulta che,per $x->oo$,senx sia infinitesimo,ed anzi mi par proprio che il suo comportamento al limite è un pò troppo anomalo anche solo per farsi venire il dubbio..
Se provi da solo ti basterà la relativa definizione,e sarà più facile ti si chiarisca ancor più il concetto:
saluti dal web.
"Sagittarioromano":
lol
Non sempre gli amici hanno ragione,anche se ascoltarli e confrontar le proprie idee con le loro è importante:
a me comunque non risulta che,per $x->oo$,senx sia infinitesimo,ed anzi mi par proprio che il suo comportamento al limite è un pò troppo anomalo anche solo per farsi venire il dubbio..
"Sagittarioromano":
comunque me lo sapresti dimostrare ciampax?
Se provi da solo ti basterà la relativa definizione,e sarà più facile ti si chiarisca ancor più il concetto:
saluti dal web.
no ma io parlando del mio amico intendevo l'esercizio, mi aveva detto fosse cosi, infatti non capivamo perchè..
cmq in conclusione alla fine con quell'alpha che devo farci?
cmq in conclusione alla fine con quell'alpha che devo farci?
Hai provato a seguire i suggerimenti dati e portare la successione in una forma equivalente? Qual è?
\(\displaystyle lim_{n\to\infty}n^\alpha{\lgroup\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2}}\rgroup \) ???
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