Resto di una serie geometrica

[Catanzani1]

Buona sera a tutti, ho un dubbio su un esercizio teorico riguardo le serie geometriche:

avendo una serie geometrica di ragione q (da 1 a ∞); se per ogni n naturale il resto n-esimo (cioè la somma delle serie geometriche di ragione q da k=n a ∞) è minore dell' (n-1)-esimo termine, allora:

-|q|<1 perché basta che la serie converga
- 0 - non va bene nessuna delle risposte precedenti, perché è impossibile che in una serie geometrica il resto n-esimo non ecceda il termine precedente
- nessuna delle precedenti risposte è corretta.

Premetto che la risposta giusta dovrebbe essere la quarta opzione, anche se non riesco a capirne il motivo:

si parla di una serie geometrica, che è convergente se la ragione è compresa tra 0 e 1. Se si considera poi la disuguaglianza sui resti, si vede che questo è possibile solo se la ragione è un numero razionale non intero e positivo (altrimenti una delle ipotesi viene a cadere, e precisamente la disuguaglianza stessa).

Il fatto che il modulo di q debba essere tra 0 e 1 è ovvio, in quanto altrimenti si avrebbe una serie divergente che non soddisfa le ipotesi sui resti.

Direi quindi che la risposta giusta dovrebbe essere la seconda...

Qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio .. ??

Grazie a tutti per il tempo dedicatomi

Distinti saluti

Enrico Catanzani

[dissonance]

Pure secondo me la risposta giusta è la seconda. Ma perché parli di "ragione razionale"? Non ve n'è alcun motivo. Il fatto è che se la ragione è piccola, razionale o irrazionale - non ha importanza, allora la serie converge: e quindi si può parlare di resto \(n\)-esimo. Tuttavia se la ragione è negativa, il resto \(n\)-esimo non avrà un comportamento monotono, perché i suoi addendi avranno segni alterni. Infine, se la ragione è \(0\) banalmente il resto \(n\)-esimo è la successione identicamente nulla. Mentre se la ragione è strettamente compresa tra \(0\) e \(1\) il resto \(n\)-esimo è una successione strettamente decrescente. Concludiamo che la risposta esatta è la seconda.

[Catanzani1]

Si, concordo, intendevo dire che la ragione doveva essere piccola, mi sono espresso male.....

grazie comunque.