Analisi matematica di base
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Salve, ho da poco iniziato a usare gli sviluppi di taylor, ho capito la teoria e riesco a calcolare i polinomi di funzioni e risolvere anche i limiti ma non riesco a trovare l'ordine di infinitesimo (infinito).
Sto lavorando su 3 esercizi che ci sono nel libro. il primo è il seguente che sembrerebbe semplice ma non mi risulta:
Calcolare ordine e P.P. infinitesimo rispetto a $u(x)=x$, della funzione $f(x)=x^3 - sin^3 x$, per $x->0$.
il mio svolgimento:
[se mi fermo all'ordine ...
Come da titolo, come faccio a sapere se la successione [tex]\frac{n^2}{e^{\sqrt{n}}}[/tex] è definitivamente decrescente?
Ho provato a calcolare il limite del rapporto del termine n con il suo successivo (n+1) ma mi risulta 1, quindi nessuna informazione al riguardo... ho pensato che potrei provare a dimostrarlo per induzione ma mi è venuto un po' complicato.
Come mi consigliate di procedere?
$\int_{1}^{+∞} (sqrt(x+3) - 2) / (x^(2) - 1) dx$
a me dà come risultato $ln((sqrt(x+3) - 2) / (sqrt(x+3) + 2)) + 1/sqrt(2) * ln((sqrt(x+3) + sqrt(2)) / (sqrt(x+3) - sqrt(2))) + ln((x+1) / (x-1))$
tutto compreso fra +1 e + inf.
Però ho come l'impressione che non sia giusto,qualche consiglio?
Ciao a tutti volevo sapere se potevate darmi qualche consiglio su come giustificare parti della dimostrazione di questo teorema che mi rimangono un pò oscure:
Sia $a_n>0$ dimostrare che $text(liminf ) (a_(n+1))/a_n <= text(liminf )root(n)(a_n)<=text(limsup)root(n)(a_n)<=text(limsup)a_(n+1)/a_n $
Ho deciso di procedere così: la prima disuguaglianza è quella che mi preme (anche perché le altre o si fanno per simmetrie rispetto a queste o per semplice definizione), comunque:
- per def di liminf: sia $L = text(limsup) (a_n) iff AAepsilon>0 text( ) EEbar(n): AAn>= bar(n) text( ) (L-epsilon)a_n<=a_(n+1)<=L $
iterando si ottiene che ...
$(log(x)-log(log(1+x)))/log(1+x)$
ha per codominio ]1/2,1[
Non sono riuscito a provarlo lavorando direttamente sulla funzione (per esempio provando che è strettamente crescente), ma studiando il segno, fissato x>0, della funzione definita da $f(y)=(1+x)^ylog(1+x)-x$.
C'è qualcuno che vi riesce senza la funzione ausiliara usata da me o/e che vuole esprimere opinioni in proposito?
grazie
Salve, sono uno studente di ingegneria ed avrei qualche problema con le serie.
A livello teorico tutto sommato ci siamo, ho difficoltà ad usare i criteri di convergenza nella risoluzione degli esercizi. In particolare la mia domanda è questa: Posso usare un qualsiasi criterio di convergenza per una qualsiasi serie, oppure ci sono degli standard da seguire?
Per esempio: $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{(1/n)}-(1)}$ io l'ho risolta con il criterio del rapporto.
Siccome il limite mi viene finito e minore di 1, la serie è ...
Buongiorno a tutti.
Ho qualche dubbio sul calcolo di integrali tripli su un certo insieme A misurabile. A volte mi capita che, passando alle coordinate sferiche/polari/cilindriche, il valore dell'angolo $\theta$ assuma valori appartenenti a due intervalli distinti. Per esempio: $0$ $\leq$ $\theta$ $\leq$ $\pi/4$ e $3\pi/4$ $\leq$ $\theta$ $\leq$ $7\pi/4$. Il problema è che, non ...
Ciao,
qualcuno conosce la definizione esatta della trasformata che conduce al concetto di fasore?
Mi ricordo che nella formula c'era un integrale...
Quella indicata su Wikipedia non e' la definizione in termini di trasformata: http://it.wikipedia.org/wiki/Fasore
ciao,
Enrico Migliore
Ciao,
ho alcuni dubbi riguardo le successioni e serie di funzioni ....
1) sia $f_n (x) = 1/(1+x^n)$ nell'intervallo I(-1,1) , devo studiare la convergenza uniforme e puntuale
Per la conv. puntuale non ho problemi: f=1=limite puntuale
Per la conv. uniforme la prof ha maggiorato con $|f_n -1|<= a^n/(1-a^n)$
e ha detto che la conv. è uniforme in [-a,a] sottoinsieme di I (-1,1) e "a" appartiene a (0,1)
e poi che non conv. uniformemente in (-1,a] (poichè $s u p|f_n -1|$ è infinito se n è dispari, 1/2 ...
Buongiorno a tutti ,
quando devo calcolare un limite per una funzione di più variabili , per dimostrare l'esistenza del limite devo dimostrare che $|f(x,y)-l| \leq g(x,y) \rightarrow 0$ (oppure in coordinate polari) ma quando trovo che il limite è infinito come faccio a dimostrarlo ?
L'esercizio che sto considerando è il seguente :
$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} {x^3 + xy^2}/{(x^2 + y^2)^{3/2}}$
Salve a tutti
sto confrontando vari metodi per il calcolo dell'integrale della secante di un angolo, in particolare ho trovato questo:
$\int \sec(x) dx$
$D(\sec(x)+\tan(x))=(\sec(x)+\tan(x))(\sec(x))$
$u=\sec(x)+\tan(x) \qquad u'=u\ \sec(x)dx$
$\sec(x)=\frac{u'}{u}=D(\log (u))=D(\log|\sec(x)+\tan(x)|$
$\int \sec(x)dx=\log|\sec(x)+\tan(x)|+C$
Un secondo metodo è il seguente:
$\int \sec(x)dx=\int 1/cos(x) dx=2 \int dt/(1-t^2)$
A questo punto si riduce in fratti semplici e si calcola facilmente.
Quello che non mi è chiara è la sostituzione $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \to 1/\cos(x)=\frac{1+t^2}{1-t^2}$
dalla quale si arriva a: $ \frac{2 dt}{1+t^2}$
Grazie per le osservazioni.
Saluti
Giovanni C.
vi chiedo una mano per capire questo esercizio, è già svolto ma non capisco come svolge un passaggio ve la scrivo:
stabilire se la seguente funzione è continua
[tex]f(x,y)= (\log (1+3{|y|}^{3})-{x}^{2}-{y}^{2}) / ({x}^{2}+{y}^{2}) se (x,y)\neq (0,0)[/tex]
[tex]f(x,y)=-1 se (x,y)=(0,0)[/tex]
per svolgerla effettua un cabiamento in coordinate polari e poi utilizza lo sviluppo di Mc Laurin al primo ordine per [tex]\log (1+t)[/tex] con ...
Mi hanno detto che è vero, io stento a crederci. Solo che non trovo il controesempio... La questione è più profonda di quello che espongo qui: questa è la "riduzione" del problema originario a una questione di Analisi II.
Siano dati un aperto connesso $\Omega$ di $RR^{2}$ e una funzione $F: \Omega \to \RR^{2}$, con $F:(x,y) \mapsto (u(x,y), v(x,y))$.
Supponiamo che in $\Omega$:
(1) $F$ sia continua;
(2) esistano $u_x, u_y, v_x, v_y$;
(3) valgano le uguaglianze ...
Sto studiando la disuguaglianza diamagnetica sul Lieb - Loss, Analysis, §7.20-7.21. Si tratta di una disuguaglianza che ci permette di concludere \(f \in H_A^1(\mathbb{R}^n) \Rightarrow \lvert f \rvert \in H^1(\mathbb{R}^n)\), dove \(H_A^1(\mathbb{R}^n)\) è un certo sottospazio di \(L^2(\mathbb{R}^n)\) (spazio di Sobolev magnetico credo si chiami).
La cosa che mi lascia perplesso è il commento del libro, che dice: attenzione, il fatto che \(\lvert f \rvert \in H^1(\mathbb{R}^n)\) NON implica ...
$lim_(x->0+)((sinx)^(2) + 2log(cosx)) / (x^(α) * (e^(x) - sqrt(1+2x)))$
al variare di alfa che appartiene a R.
ho utilizzato le formule di taylor e come risultato ho ottenuto $(x)^(4) / (4x^(α) * x^(2))$ , solo che wolfram mi dà un risultato diverso,ovvero 0 se alfa è minore di 2, -1/2 se alfa è =2 e -∞ se alfa >2.
Chiedo a qualche esperto che riesce velocemente a risolvere il calcolo di dirmi quanto gli riporta,perchè io non sono assolutamente sicuro di aver fatto bene e wolfram direi che non sbaglia sui limiti. Grazie !
Ciao a tutti,
ho un' pò di dubbi riguardo al seguente esercizio:
Sia
$f_n(x)={(nx\frac{x^2-x-n}{x^2+n}+1, (1)),(\frac{x^4}{x^2+n},(2)):}$
La $(1)$ è definita con $x in [0,1/n]$ mentre la $(2)$ con $x in (1/n,+oo)$
Mi si chiede di individuare:
- L'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite
- Dire se $f_n(x)$ converge uniformemente su tale insieme
- Dire se $f_n(x)$ converge uniformemente su intervalli chiusi e limitati di tale insieme.
_____________
1.
Per la convergenza puntuale non ...
Il quiz chiede:
Sia ${an }n$ una successione di numeri positivi tale che $ lim_(n -> +oo)(an +2^n)^(1/n)=3 $ allora io ho pensato che la risposta essatta fosse che $ lim_(n -> +oo) ((an)/3^n)=1 $ ,perchè ho pensato che se il rapporto di $an$ e $3^n$ tendesse a 1 per n che tende a più infinito,vuol dire che $an$ si comporta come $3^n$, dunque nella radice si raccoglie $3^n$ e quindi il limite viene 3.
Ma la risposta esatta era che $lim_(n ->+oo)(an)=+oo$
Come ...
Come si trova la primitiva di questa funzione fratta: $x/(1+9x^4)$ ?
Non riesco a capire la traccia dell'esercizio e come si svolge:
Se z = 1 − i, il numero complesso $w=[( (2z) ^(∗) − i) − i]/((iz)^ (∗) − 1)$ è uguale a:
[1] w = 2/5( 3 − 4i); [2] w = 2/5 (1 − 3i ); [3] w = 2/5 (−3 + i); [4] w = 2/5 −4 + 3i
Non so come interpretare quell'asterisco(come una potenza qualsiasi?)
Qui leggo:
[...]
Suppose $(f(z))^2=z$ for some continuous $f$.
By the implicit function theorem, $f(z)$ is complex differentiable (=holomorphic) for all $z\ne 0$ in $\mathbb C$.
However since $f$ is continuous at $0$, it is also differentiable there thanks to Riemann's extension theorem.
Differentiating $z=f(z)^2$ at $z=0$ leads to $1=2f(0)f'(0)=2\cdot0\cdot f'(0)=0 \;$. ...
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